早期的人类在生产和实践中逐渐产生了数的概念。人们对数的认识是从自然数开始的,然后才以自然数为基础逐渐发展出整数、有理数、实数、复数、四元数、八元数、十六元数等数系。自然数集合是一种典型的无限可列集,关于自然数的整除性和素数的研究又促进了数论的发展。不过直到十九世纪,意大利数学家佩亚诺(Peano)才给出了自然数的公理化定义。
定义(自然数的佩亚诺公理) 一个非空集合N称为自然数集合,如果N满足以下五条公理:
(1) 0是自然数,即0∈N;
(2) 每一个确定的数a∈N都有确定的后继a'∈N;
(3) 0不是任何自然数的后继,即对于N中任意元素a,都有a'≠0;
(4) 不同的自然数有不同的后继,即对任意的自然数a,b∈N,若a'=b',则a=b;
(5) 设S为N的子集,如果S满足:(a)0∈S,(b)若a∈S,则a'∈S,那么S是包含所有自然数的集合,即S=N(归纳公理)。
满足上述公理的N中的元素称为自然数,若b为a的后继,也称b在a的后面(即b=a+1),或者a在b的前面。由公理(2)和(4)可知N是无限集合,由归纳公理(5)则可以发展出数学归纳法。
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