自然数的公理化定义

早期的人类在生产和实践中逐渐产生了数的概念。人们对数的认识是从自然数开始的，然后才以自然数为基础逐渐发展出整数、有理数、实数、复数、四元数、八元数、十六元数等数系。自然数集合是一种典型的无限可列集，关于自然数的整除性和素数的研究又促进了数论的发展。不过直到十九世纪，意大利数学家佩亚诺(Peano)才给出了自然数的公理化定义。

定义(自然数的佩亚诺公理) 一个非空集合N称为自然数集合，如果N满足以下五条公理：

(1) 0是自然数，即0∈N;

(2) 每一个确定的数a∈N都有确定的后继a'∈N;

(3) 0不是任何自然数的后继，即对于N中任意元素a，都有a'≠0;

(4) 不同的自然数有不同的后继，即对任意的自然数a,b∈N，若a'=b'，则a=b;

(5) 设S为N的子集，如果S满足：(a)0∈S，(b)若a∈S，则a'∈S，那么S是包含所有自然数的集合，即S=N(归纳公理)。

满足上述公理的N中的元素称为自然数，若b为a的后继，也称b在a的后面(即b=a+1)，或者a在b的前面。由公理(2)和(4)可知N是无限集合，由归纳公理(5)则可以发展出数学归纳法。