确界存在定理

戴德金分割定理(戴德金分割定理；为什么实数跟数轴上的点一一对应？)表明了实数系的连续性，通俗的说法就是数轴上没有“空隙”，或者说全体实数跟数轴上的点一一对应。事实上，实数系的连续性有多种等价的表述方式，确界存在定理就是另外一种比较常见的表述。

上确界与下确界 

设S是一个非空数集。如果∃M∈R,使得∀x∈S,有x≤M，则称M是S的一个上界；如果∃m∈R,使得∀x∈S,有x≥m，则称m是S的一个下界。当数集S既有上界又有下界时，称S为有界集。显然

S为有界集⇔∃X＞0,使得∀x∈S,有|x|≤X

设数集S有上界，记U为S的上界全体组成的集合，则显然U不可能有最大数，但可以证明U一定有最小数。设U的最小数为β，就称β为数集S的上确界，即最小上界，记为

β=sup S

若数集S有下界，记L为S的下界全体所组成的集合，则显然L不可能有最小数，但可以证明L一定有最大数。设L的最大数为α，就称α为数集S的下确界，即最大下界，记为

α=inf S

综上所述，可以得到以下的确界存在定理。

确界存在定理 非空有上界的(实)数集必有上确界，非空有下界的(实)数集必有下确界。

此处“有上(下)确界”的意思是上(下)确界仍然是实数。此外关于(实)数集的上(下)确界还有下述的唯一性定理。

上(下)确界的唯一性定理 非空有界(实)数集的上(下)确界是唯一的。

跟戴德金分割定理一样，确界存在定理也反应了实数系连续性，这可以从几何的角度进行理解。若全体实数不能布满整条数轴而是留有“空隙”，则空隙左边的数集就没有上确界，“空隙”右边的数集就没有下确界。例如，有理数集Q在数轴上有“空隙”，它就不满足确界存在定理，也就是Q内有上(下)界的集合T的上(下)确界未必在Q内。