【胡不归问题3】【最短路径】

试题内容

如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax²+bx+c的图像经过点A(－1,0)，B(0,－√3)，C(2,0)，其中对称轴与x轴交于点D．若P为y轴上的一个动点，连接PD，求(1/2)PB+PD的最小值．

解法分析

作射线BE使∠1=30°，作PE⊥EB于点E，

因为三角形PEB是含30°的直角三角形，

所以PE=(1/2)PB，

所以“求(1/2)PB+PD的最小值”可转化为“求PE+PD的最小值”.

当D、P、E三点共线(即DE⊥BE于点E)时，PE+PD取得最小值.

因为二次函数y=ax²+bx+c的图像经过点A(－1,0)，B(0,－√3)，C(2,0)，

根据待定系数法求得抛物线的解析式为：y=(√3/2)x²-(√3/2)x-√3，

所以抛物线的对称轴为直线x=1/2.

易证三角形PEB和三角形POD都是含30°的直角三角形，

在三角形POD中，OD=1/2，

所以OP=(√3)/6，PD=(√3)/3，

所以PB=OB-OP=(5√3)/6，

所以PE=(1/2)PB=(5√3)/12，

所以PE+PD=(3√3)/4，

即(1/2)PB+PD的最小值为(3√3)/4.

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