【2020上海中考试卷25】【特殊三角形】

1.试题内容

【2020上海中考试卷25】(14分)

如图，△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，BO的延长线交边AC于点D．

(1)求证：∠BAC＝2∠ABD；

(2)当△BCD是等腰三角形时，求∠BCD的大小；

(3)当AD＝2，CD＝3时，求边BC的长．

2.解法分析

第一问

等腰三角形的性质

连接AO并延长，交BC于点E，连接OC，

∵AB=AC，OB=OC，

∴点A、O都在线段BC的垂直平分线上，

即直线AO垂直平分BC，

∴AE⊥BC，

∵△ABC是等腰三角形，

∴∠BAE=∠CAE，

∴∠BAC=2∠BAE，

∵OA=OB，

∴∠ABD=∠BAE，

∴∠BAC=2∠ABD．

第二问

等腰三角形的性质+分类讨论

当△BCD是等腰三角形时，分以下三种情况进行讨论：

①当BD=CB时，

设∠ABD=x，

由(1)得：∠BAC=2x，

∴∠BDC=3x，

∵BD=CB，

∴∠BCD=∠BDC=3x，

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠BCD=3x，

∴∠DBC=2x，

在△BCD中，

2x+3x+3x=180°，

∴x＝22.5°，

∴∠BCD=3x=67.5°；

②当CD=CB时，

设∠ABD=x，

由(1)得：∠BAC=2x，

∴∠BDC=3x，

∵CD=CB，

∴∠CBD=∠BDC=3x，

∴∠ABC=4x，

∵AB=AC，

∴∠BCD=∠ABC=4x，

在△BCD中，

3x+3x+4x=180°，

∴x=18°，

∴∠BCD=4x=72°；

③当DB=DC时，

点D在线段BC的垂直平分线上，

∵不存在点D，既在射线BO上，又在线段AC上，还在直线AE上，

∴此种情况不存在；

综上所述，∠BCD的大小为67.5°或72°．

第三问

相似三角形+直角三角形

过点A作AF∥BC交BO的延长线于点F，

则△ADF∼△CDB，△AOF∼△EOB，

∴AF:BC=AD:CD=2:3，

AO:EO=AF:BE，

∵BE=(1/2)BC，

∴AF:BE=4:3，

∴AO:EO=4:3，

设BO=AO=4a，EO=3a，

易求得：AB=5，AE=7a，

根据勾股定理得：

BE²=AB²-AE²=BO²-EO²，

∴25-49a²=16a²-9a²，

∴a²=(25/56)，

∴BE²=7a²=(25/8)，

∴BE=(5√2)/4，

∴BC＝2BE=(5√2)/2．

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