【手拉手全等】【特殊三角形】【一题多解】

试题内容

如图，四边形ABCD中，AC、BD是对角线，△ABC是等边三角形，∠ADC=30°，AD=4，BD=5，则CD的长为        .

解法分析

题中已知边为AD和BD，所求边为CD，我们可以选择集中了“已知边，所求边，等边三角形的边”的三角形，通过旋转，构造手拉手全等来解决问题，比如：△ABD，△ACD，△BCD.

1

旋转△ABD

【将△ABD绕点A逆时针旋转60°，得到△ACE】

根据旋转的性质得：CE=BD=5，

易证：△ADE是等边三角形，

∴DE=AD=4，∠ADE=60°，

∵∠CDE=∠ADE+∠ADC=90°，

∴△CDE是直角三角形，

根据勾股定理得：CD=3.

【将△ABD绕点B顺时针旋转60°，得到△CBE】

根据旋转的性质得：CE=AD=4，

∠BCE=∠BAD，

易证：△BDE是等边三角形，

∴DE=BD=5，

∵∠DCE=360°-∠BCD-∠BCE

=360°-∠BCD-∠BAD

=∠ABC+∠ADC=90°，

∴△CDE是直角三角形，

根据勾股定理得：CD=3.

2

旋转△ACD

【将△ACD绕点A顺时针旋转60°，得到△ABE】

根据旋转的性质得：

∠AEB=∠ADC=30°，

易证：△ADE是等边三角形，

∴DE=AD=4，∠AED=60°，

∵∠BED=∠AEB+∠AED=90°，

∴△BED是直角三角形，

根据勾股定理得：CD=3.

【将△ACD绕点C逆时针旋转60°，得到△BCE】

根据旋转的性质得：

BE=AD=4，

∠BEC=∠ADC=30°，

易证：△CDE是等边三角形，

∴DE=CD，∠CED=60°，

∵∠BED=∠BEC+∠CED=90°，

∴△BED是直角三角形，

根据勾股定理得：DE=3，

∴CD=3.

3

旋转△BCD

【将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE】

根据旋转的性质得：

∠BAE=∠BCD，

易证：△BDE是等边三角形，

∴DE=BD=5，

∵∠EAD=360°-∠BAD-∠BAE

=360°-∠BAD-∠BCD

=∠ABC+∠ADC=90°，

∴△EAD是直角三角形，

根据勾股定理得：CD=3.

【将△BCD绕点C顺时针旋转60°，得到△ACE】

根据旋转的性质得：

AE=BD=5，

易证：△CDE是等边三角形，

∴DE=CD，∠CDE=60°，

∵∠ADE=∠ADC+∠CDE=90°，

∴△ADE是直角三角形，

根据勾股定理得：DE=3，

∴CD=3.

此题还有其他解法，

同学们快快寻找吧！

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