【杨辉三角】【数形规律】【山东中考试题】

   山东中考试题

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山西中考试题

      南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了(a＋b)n(n为非负整数)展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将下表称为“杨辉三角”．

(a＋b)0＝1　

(a＋b)1＝a＋b　

(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2　

(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3　

(a＋b)4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4　

(a＋b)5＝a5＋5a4b＋10a3b2＋10a2b3＋5ab4＋b5　

…　

则(a＋b)9展开式中所有项的系数和是(　　)　

A.128 B.256 C.512 D.1024　

2

解法分析

方法一：

当n=0时，

系数和=1=2⁰；

当n=1时，

系数和=1+1=2¹；

当n=2时，

系数和=1+2+1=4=2²；

当n=3时，

系数和=1+3+3+1=8=2³；

当n=4时，

系数和=1+4+6+4+1=16=2⁴；

当n=5时，

系数和=1+5+10+10+5+1=32=2⁵；

...

当n=9时，

系数和=2⁹=512.

此题选C.

方法二：

当a=1，b=1时，

(a＋b)ⁿ=展开式中所有项的系数和，

∴当n=9时，

系数和=(1＋1)⁹=512.

此题选C.

3

数学史

     我国著名数学家华罗庚曾在给青少年撰写的“数学是我国人民所擅长的学科”一文中谈到，我国古代数学的许多创新与发展都曾居世界前列。他说:“实际上我们祖国伟大人民在人类史上，有过无比睿智的成就。”其中“杨辉三角”就是一例。杨辉三角两腰上的数都是1，其余每个数为它的上方(左右)两数之和。

      贾宪是生活在北宋年间的数学家，活动于11世纪上半叶。著有《黄帝九章算法细草》《释锁算书》等书，但是均已失传。所谓“贾宪三角”指的是“开方作法本源”图。

      杨辉是我国南宋时期杰出的数学家和数学教育家。活动于13世纪后半叶，在公元1261年著《详解九章算法》中载有“开方作法本源”图，使得贾宪的成果得以保存。由于“开方作法本源”图出自杨辉的书，因此后人称“开方作法本源”图为杨辉三角。事实上，杨辉曾作注:“出《释锁算书》，贾宪用此术”，明确说明“开方作法本源”图是贾宪用过的。

      这个三角形被欧洲学者称为“帕斯卡三角”，法国数学家帕斯卡于1654年发现了此三角形，他还最早用数学归纳法证明了“帕斯卡三角”的性质。在帕斯卡之前，西方有许多人已经知道帕斯卡三角，较早的有意大利数学家塔尔塔利亚，在他写的《论数字与度量》一书中给出了由二项式展开系数排列成的表，被称为“塔尔塔利亚三角形”，比帕斯卡早100多年，但比贾宪晚约500年。

参考文献

人教版数学八上教科书

人民教育出版社

人教版数学八上教参

人民教育出版社

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