【图解一元二次方程】【浙江中考试题】

   浙江中考试题

1

山西中考试题

欧几里得的《原本》记载，形如x2＋ax＝b2的方程的图解法是：

画Rt△ABC，使∠ACB＝90°，BC＝(a/2)，AC＝b，再在斜边AB上截取BD＝(a/2)，则该方程的一个正根是(   )　

A．AC的长

B．AD的长　

C．BC的长

D．CD的长　

解法分析1：

根据勾股定理得：

BC2+AC2=AB2，

即：(a2/4)+b2=AB2，

∴a2+4b2=4AB2，

方程化为一般形式得：

x2＋ax-b2＝0，

根据一元二次方程求根公式得：

x=[-a±√(a2+4b2)]/2，

=(-a/2)±√(4AB2)/2

=-BD±AB，

∴正根x=AB-BD=AD，

此题选B.

解法分析2：

根据勾股定理得：

BC²+AC²=AB²=(AD+BD)²，

即：(a²/4)+b²=[AD+(a/2)]²，

整理得：

AD²+aAD=b²，

∴AD是方程x²＋ax＝b²的一个根，

此题选B.

2

河北中考模拟

      欧几里得在《几何原本》中,记载了用图解法解方程x²+ax=b²的方法,类似地可以用折纸的方法求方程x²+x-1=0的一个正根.下面是甲、乙两位同学的做法: 

甲:如图1,裁一张边长为1的正方形的纸片ABCD,先折出BC的中点E,再折出线段AE,然后通过折叠使EB落在线段EA上,折出点B的新位置F,因而EF=EB,类似地,在AB上折出点M使AM=AF.此时,AM的长度可以用来表示方程x²+x-1=0的一个正根;

乙:如图2,裁一张边长为1的正方形的纸片ABCD,先折出AD、BC的中点G、H,再折出线段AN,然后通过沿线段AN折叠,使AD落在线段AH上,折出点D的新位置P,因而AD=AP.此时,DN的长度可以用来表示方程x²+x-1=0的一个正根.

甲、乙两人的做法和结果(   )

A.甲对，乙错 

B.甲错，乙对 

C.甲、乙都对 

D.甲、乙都错

解法分析： 

如图1：

设AM=AF=x，

∵AE²= AB²+BE²，

∴[x+(1/2)]²=1+(1/4)，

整理得：x²+x-1=0，

∴AM的长度是方程x²+x-1=0的一个正根.

如图2：

设 DN=NP=x，则NC=1-x，

∵AB=AP= 1，BH=(1/2)，

∴AH=(√5)/2，PH=AH-AP=[(√5)/2]-1，

∵NP²+PH²=NC²+HC²，

∴x²+{[(√5)/2]-1}²=(1-x)²+(1/4)，

解得：x=[(√5)-1]/2，

∵x=[(√5)-1]/2是方程x²+x-1=0的一个根，

∴DN的长度是方程x²+x-1=0的一个正根.

此题选C.   

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