【2020四川成都中考试卷27】【轴对称】【一线三直角】

1.试题内容

【2020四川成都中考试卷27】(10分)

在矩形ABCD的CD边上取一点E，将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处．

(1)如图1，若BC=2BA，求∠CBE的度数；

(2)如图2，当AB=5，且AF·FD=10时，求BC的长；

(3)如图3，延长EF，与∠ABF的角平分线交于点M，BM交AD于点N，当NF=AN+FD时，求(AB/BC)的值．

2.解法分析

第一问

折叠→特殊角的三角函数值

∵将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处，

∴BC=BF，∠FBE=∠EBC，

∵BC=2AB，

∴BF=2AB，

∴sin∠AFB=1/2，

∴∠AFB=30°，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴∠AFB=∠CBF=30°，

∴∠CBE=(1/2)∠CBF=15°；

第二问

折叠→一线三直角(相似三角形)

∵将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处，

∴∠BFE=∠C=90°，CE=EF，

又∵矩形ABCD中，∠A=∠D=90°，

∴∠AFB+∠DFE=90°，∠DEF+∠DFE=90°，

∴∠AFB=∠DEF，

∴△FAB∼△EDF，

∴(AF/DE)=(AB/DF)，

∴AF·DF=AB·DE，

∵AF·DF=10，AB=5，

∴DE=2，

∴CE=DC-DE=5-2=3，

∴EF=3，

由勾股定理得：DF=√5，

∴AF=10/(√5)=2(√5)，

∴BC=AD=AF+DF=3(√5)．

第三问

折叠→直角/相似三角形

过点N作NG⊥BF于点G，

∵NF=AN+FD，

∴NF=(1/2)AD=(1/2)BC，

∵BC=BF，

∴NF=(1/2)BF，

∵∠NFG=∠AFB，∠NGF=∠BAF=90°，

∴△NFG∼△BFA，

∴(NG/AB)=(FG/FA)=(NF/BF)=(1/2)，

设NG=x，则AB=2x，

∵BN平分∠ABF，AN⊥AB，NG⊥BF，

∴AN=NG=x，

设FG=y，则FA=2y，

∴NF=2y-x，

在Rt△NGF中，由勾股定理得：

x2+y2=(2y-x)2，

解得y=(4/3)x．

∴BF=2NF=2(2y-x)=2×[(8/3)x-x]=(10/3)x．

∴(AB/BC)=(AB/BF)=(3/5)．

————  e n d ————