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试题内容
如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,点P为线段AB上不与A,B重合的一个动点,过点P作PQ⊥BC于点Q,将△BPQ绕点B逆吋针旋转,连接CP,点D为CP的中点,连接AD,AQ,DQ,已知AC=3,AB=6.
(1)当旋转角为0°时,如图1,线段AD与线段QD的数量关系为 ;
(2)如图2,当点P,Q,C第一次旋转到一条直线上时,试找出线段CQ,PQ,AD的数量关系并说明理由;
(3)旋转过程中,当点P为边AB的三等分点时,直接写出线段AD的最大值.
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解法分析
第一问
直角三角形
AD=QD;
理由如下：
在Rt△CAP中，AD为斜边上的中线，
∴AD=(1/2)CP，
在Rt△CQP中，QD为斜边上的中线，
∴QD=(1/2)CP，
∴AD=QD.
第二问
第一问的类比迁移，相似/全等三角形+直角三角形
【作垂直，证中点】
CQ- PQ = 2AD，理由如下：
如图,过点A作AQ的垂线交CP于点G,设CP与BA的交点为M,
由题意得：
AC=3,AB=6，
∴tan∠CBA=tan∠PBQ=(1/2)，
∴BQ=2PQ，
∵点P、Q、C三点共线,
∴BQ⊥PC，
∵ ∠CMA=∠BMQ,∠MAC=∠MQB=90°，
∴ ∠MCA=∠MBQ，【八字型相似】
∵∠CAG+∠BAG=90°,∠BAQ+∠BAG=90°,
∴∠CAG=∠BAQ，
∴△CAG∼△BAQ，
∴(AC/AB)=(CG/BQ)=(1/2)，【手拉手型相似】
∴BQ=2CG，
∴CG=PQ，
∵点D是CP的中点,
∴DC=DP，
∴DC-CG=DP-PQ，
∴DG=DQ，
∴点D是GQ的中点，
∴在Rt△GAQ中,
GQ=2AD，【类比迁移部分】
∴CQ- PQ =CQ-CG=GQ=2AD，
∴CQ- PQ=2AD.
【作中点，证垂直】
CQ- PQ = 2AD，理由如下：
如图,延长AD至点E，使DE=DA，连接EP、EQ，
设CP与BA的交点为M,
∵点D是CP的中点,
∴DP=DC，
∵∠EDP=∠ADC，
∴△EDP≅△ADC，
∴∠MCA=∠EPQ，AC=EP，【X型全等】
∵点P、Q、C三点共线,
∴BQ⊥PC，
∵ ∠CMA=∠BMQ,∠MAC=∠MQB=90°，
∴ ∠MCA=∠ABQ，【八字型相似】
∴∠EPQ=∠ABQ，
∵AC=3,AB=6，
∴tan∠CBA=tan∠PBQ=(1/2)，
∴(AC/AB)=(EP/AB)=(1/2)=(PQ/BQ)，
∴△EPQ∼△ABQ，【手拉手型相似】
∴∠PQE=∠BQA，
∴∠PQE-∠EQB=∠BQA-∠EQB，
∴∠PQB=∠EQA=90°，
∴在Rt△EQA中,
QD=(1/2)AE=AD，【类比迁移部分】
∴CQ+PQ=2DP=2(QD+PQ)=2(AD+PQ)，
∴CQ -PQ=2AD.
第三问
瓜豆原理+点圆最值
线段AD的长度的最大值为[(3√5)+4]/2，理由如下：
作点C关于直线AB的对称点C'，连接C'P，
易证AD为△CC'P的中位线，
∴当C'P取得最大值时，AD取得最大值(1/2)C'P.【瓜豆现象】
①如左图,当BP=(1/3)AB=2时，
∵点P在以点B为圆心，2为半径的圆上运动，
∴当C'、B、P三点共线时，C'P取得最大值，
在直角三角形AC'B中，
由勾股定理得：
C'B=(3√5),
∴C'P=C'B+BP=(3√5)+2，
∴ADmax=[(3√5)+2]/2.
②如右图,当BP=(2/3)AB=4时，
∵点P在以点B为圆心，4为半径的圆上运动，
∴当C'、B、P三点共线时，C'P取得最大值，
在直角三角形AC'B中，
由勾股定理得：
C'B=(3√5),
∴C'P=C'B+BP=(3√5)+4，
∴ADmax=[(3√5)+4]/2.
综上所述，当点P在靠近点A的三等分点处时,线段AD的长度取得最大值，
最大值为[(3√5)+4]/2.
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