【与圆有关的定理拓展】【初高中衔接】

难度系数

★★★☆☆

关键词

弦切角定理

相交弦定理

切割线定理

割线定理

01

弦切角定理

弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角.【顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角.】

定理

的证明

已知：如图，PA切圆O于点A，AB、AC、BC为圆O的弦，

求证：∠PAB=∠C.

证明：作直径AD，连接BD，

∵AD为圆O的直径，

∴∠DBA=90°，

∴∠1+∠D=90°，

∵PA切圆O于点A，

∴∠DAP=90°，

∴∠1+∠PAB=90°，

∴∠PAB=∠D，

∵同弧所对的圆周角相等，

∴∠C=∠D，

∴∠PAB=∠C.

02

相交弦定理

圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.

定理

的证明

已知：如图，圆O的两条任意弦AB、CD相交于点P，

求证：AP·BP=CP·DP.

证明：连接AD、BC，

∵同弧所对的圆周角相等，

∴∠B=∠D，∠A=∠C，

∴△APD∼△CPB，

∴(AP/CP)=(DP/BP)，

∴ AP·BP=CP·DP.

03

切割线定理

从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.

定理

的证明

已知：如图，PA切圆O于点A，PB交圆O于点B、C，

求证：AP2=BP·CP.

证明：连接AB、AC，

根据弦切角定理得：

∠PAC=∠B，

∵∠P=∠P，

∴△APC∼△BPA，

∴(AP/BP)=(CP/AP)，

∴ AP²=BP·CP.

04

割线定理

从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等.

定理

的证明

已知：如图，PA交圆O于点A、B，PC交圆O于点C、D，

求证：AP·BP=CP·DP.

证明：连接AD、BC，

∵同弧所对的圆周角相等，

∴∠A=∠C，

∵∠P=∠P，

∴△APD∼△CPB，

∴(AP/CP)=(DP/BP)，

∴ AP·BP=CP·DP.

END