【周测2-23】【手拉手相似】【特殊多边形】【三点共线】

中考备考

试题内容

问题提出:

(1)如左图,在等腰直角三角形ABC中,以BC为边在△ABC右侧作正方形DEFC,线段AF与线段BE的数量关系为     ;

深入探究:

(2)如右图,将正方形DEFG绕点D在平面内旋转,连接AF,DF,BE,(1)中的结论是否有变化?请说明理由;

拓展延伸:

(3)若AC=2,正方形DEFG绕点D在平面内旋转的过程中,当点A,E,F在一条直线上时,直接写出线段BE的长.

第一问

AF=(√2)BE；(此问难不倒同学们，我就不证明了.)

第二问

结论无变化，理由如下：

连接BD、CD，

由题意得：

CA=CB=CD，BC⊥AD，

∴△ACB、△DCB和△ABD都是等腰直角三角形，

∴∠BDA=45°，AD:BD=(√2)，

∵△FED是等腰直角三角形，

∴∠EDF=45°，FD:ED=(√2)，

∴ ∠BDA-∠BDF=∠EDF-∠BDF，

即：∠FDA=∠EDB,

∵AD:BD=FD:ED=(√2)，

∴△FDA∽△EDB，

∴AF:BE=(√2)，

即：AF=(√2)BE.

难点

      手拉手相似(全等)的核心是旋转中心【点D】，以此为切入点补全图形，问题可迎刃而解.

第三问

线段BE的长为(√6)-(√2)或(√6)+(√2).

作图部分：

①以点D为圆心，CD长为半径画圆；

②过点A作圆D的两条切线，切点分别为E1、E2；

③依题意补全图形，画出△DE1F1和△DE2F2.

计算部分：

如左图：

易证：DE1=E1F1=2，

在Rt△DE1A中，DE1=2，AD=4，

根据勾股定理得：

AE1=2(√3)，

∴AF1=AE1-E1F1=2(√3)-2，

∴BE1=AF1/(√2)=(√6)-(√2)；

如右图：

易证：DE2=E2F2=2，

在Rt△DE2A中，DE2=2，AD=4，

根据勾股定理得：

AE2=2(√3)，

∴AF2=AE2+E2F2=2(√3)+2，

∴BE2=AF2/(√2)=(√6)+(√2).   

难点

      当点A、E、F在一条直线上时，直线AE、直线EF、直线AF重合，问题解决的关键在于找到三条直线中，与动点运动路径位置关系最为特殊的直线【直线EF始终与圆D相切】，所以直线AE与圆D相切时，点A、E、F在一条直线上.