中
考
2021
备考
难度系数
★★★★★
试题内容
如图,在菱形ABCD中,∠BAD=120°,将边AB绕点A逆时针旋转至AB',记旋转角为α.过点D作DF⊥BC于点F,过点B作BE⊥直线B'D于点E,连接EF.
【探索发现】
(1)填空:当α=60°时,∠EBB'= °,(EF/DB')的值是 ;
【验证猜想】
(2)当0°<α<360°时,(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请仅就图2的情形进行证明;若不成立,请说明理由;
【拓展应用】
(3)在(2)的条件下,若AB=2√(2),当△BDE是等腰直角三角形时,请直接写出线段EF的长.
解法分析
第一问
特殊情况→探索发现
连接BD,
当α=60°时,点B'与点C重合,
点D、C、E三点共线,
∴∠ECB=180°-∠DCB=60°,
∵BE⊥直线B'D于点E,
∴∠EBB'=30°,
易证△B'EB和△DFB都是含30°的直角三角形,
∴(EB/B'B)=(FB/DB)=(√3)/2,
易证△EBF∼△B'BD,
∴(EF/DB')=(EB/B'B)=(√3)/2.
第二问
一般情况→猜想验证
连接BD,由题意得:
∠BAB'=α,∠DAB'=120°-α,
AB=AB'=AD,
∴∠1=(180°-120°+α)/2=30°+(α/2),
∠2=(180°-α)/2=90°-(α/2),
∴∠3=180°-∠1-∠2=60°,
∵BE⊥直线B'D于点E,
∴∠EBB'=30°,
∴(EB/B'B)=(√3)/2,
∵四边形ABCD是菱形,
∴∠FBD=(1/2)∠ABC=(1/2)(180°-∠BAD)=30°,
∵DF⊥BC于点F,
∴(FB/DB)=(√3)/2,
∵∠EBB'+∠B'BF=∠FBD+∠B'BF,
∴∠EBF=∠B'BD,
又∵(EB/B'B)=(FB/DB),
∴△EBF∼△B'BD,
∴(EF/DB')=(EB/B'B)=(√3)/2.
第三问
特殊情况→拓展应用
作图部分:
①以BD为直径作圆O,
②过点O作BD的垂线交圆O于点E1、E2,
③以点A为圆心,AB长为半径作圆A,
④作直线DE1交圆A于点B'1,作直线DE2交圆A于点B'2;
如左图:
连接BE1,BB'1,
易得:BD=(√3)AB=2(√6),
∴BE1=DE1=2(√3),
∵∠E1BB'1=30°,
∴E1B'1=2,
∴DB'1=DE1-E1B'1=2(√3)-2,
∴E1F=DB'1×[(√3)/2]=3-(√3).
如右图:
连接BE2,BB'2,
易得:BD=(√3)AB=2(√6),
∴BE2=DE2=2(√3),
∵∠E2BB'2=30°,
∴E2B'2=2,
∴DB'2=DE2+E2B'2=2(√3)+2,
∴E2F=DB'2×[(√3)/2]=3+(√3).
∴EF的长为3-(√3)或3+(√3).
END
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