【2021许昌二模15】【圆与最值】【阴影部分的面积】

中

考

2021

备考

难度系数

★★★★☆

试题内容

如图,在扇形AOB中,∠AOB=90°,OA=2,点P是弧AB上一动点,连接OP,点C是OP的中点,连接AC并延长,交OB于点D,则图中阴影部分面积的最小值为     .

解法分析

在点P运动的过程中，OC始终等于OP的一半，

∵OP=OA=2，

∴OC=1，

∴点C在以点O为圆心，1为半径的圆(部分)上运动，

记点C的运动路径为c，

∵S阴影=S扇形OAB-S△AOD，

∴当△AOD的面积最大时，阴影部分的面积最小，

∵当AD与路径c相切时，OD取得最大值，同时，△AOD的面积取得最大值，

如图所示：

在Rt△AOC中，AO=2，OC=1，

∴AC=(√3)，tan∠OAC=(√3)/3，

在Rt△AOD中，

OD=AO×tan∠OAC=(2√3)/3，

∴S△AOD=(AO×OD)/2=(2√3)/3，

S阴影=S扇形OAB-S△AOD=(90π×4)/360-(2√3)/3=π-(2√3)/3，

即：阴影部分面积的最小值为：π-(2√3)/3.

动态演示

巩固练习

如图,矩形ABCD中,AB=4,AD=3,M是边CD上一点,将△ADM沿直线AM对折,得到△ANM.

当射线BN交线段CD于点E时,DE的最大值为     .

解法分析

在点M运动的过程中，AN始终等于AD，

∴点N在以点A为圆心，3为半径的圆(部分)上运动，

记点N的运动路径为c，

∵当BN与路径c相切于点N时，DE取得最大值，

如图所示：

易证△ANB≅△BCE，

∴CE=NB，

在Rt△ANB中，AN=AD=3，AB=4，

∴NB=(√7)，

∴CE=(√7)，

∴DE=DC-CE=4-(√7)，

即：DE的最大值为4-(√7).

动态演示

END