【2021江苏徐州28】【全等三角形的判定和性质】【定距平行线】【隐圆】

江苏卷

2021中考数学

2021江苏徐州28

如图1，正方形ABCD的边长为4，点P在边AD上(P不与A、D重合)，连接PB、PC.将线段PB绕点P顺时针旋转90°得到PE，将线段PC绕点P逆时针旋转90°得到PF.连接EF、EA、FD.
(1)求证:
①△PDF的面积S=PD；
②EA=FD;
(2)如图2，EA、FD的延长线交于点M，取EF的中点N，连接MN，求MN的取值范围.

解法分析(1)①

一线三直角型全等

作FG⊥AD交AD的延长线于点G，
根据AAS/ASA证明:
△PFG≅△CPD，
∴FG=PD，
∴S_△PDF=PD×FG=PD，
即:△PDF的面积S=PD；

解法分析(1)②

全等三角形的判定和性质

作EH⊥AD交DA的延长线于点H，
与①同理可证:
△PEH≅△BPA，
∴PH=AB，
∴PH=AD，
∴PH-AP=AD-AP，
即:AH=PD，
由①得:FG=PD，
∴AH=FG，
同理可证:EH=DG，
根据SAS证明:
△EAH≅△DFG，
∴EA=FD；

解法分析(2)

隐直角三角形

由(1)②得:
△EAH≅△DFG，
∴∠1=∠3，
∵∠2=∠3，
∴∠1=∠2，
由八字形相似可证:
∠AMD=90°，
∴MN=EF；

定距平行线

由(1)②得:
PH=AB=4，PG=CD=4，
∴HG=8，
∴EH和FG是一组距离为8的平行线，
∴当EF∥HG时，EF取得最小值，
∴EF_min=HG=8，
∵EH+FG=AP+PD=4，
∴当EH=0时，FG=4
(或当FG=0时，EH=4)，
此时，EF取得最大值，
∴EF_max==4，
∴8≤EF≤4，
∴4≤MN≤2.

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再思考

定角定弦(隐圆)

∵∠AMD=90°，
∴点M在以AD为直径的圆上移动；

中点-中位线

由(2)得:PH=PG，
∴点P是HG的中点，
∴PN是梯形EHGF的中位线，
∴PN=(EH+FG)=2，
PN⊥AD，
∴点N在与AD距离为2的平行线上移动.

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END

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