【数学思维能力训练第六期】【2021广东深圳15】【一题多解】【轴对称】

广东卷

2021中考数学

试题分享：杜    祎(2020级16班)
解析分享：孔祥瑞(2020级15班)

试题内容

如图，在△ABC中，D、E分别为BC、AC上的点，将△CDE沿DE折叠，得到△FDE，连接BF、CF， ∠BFC=90°，若EF∥AB，AB=4，EF=10，则AE的长为          .

解法分析

轴对称→垂直平分线→平行线

延长ED，交CF于点N；
根据轴对称的性质，可得EN⊥CF，进而证明EN∥BF.

思路点拨1
等腰三角形+平行四边形

延长BA、DE交于点M；
∵EF∥AB，
∴∠1=∠2，
由轴对称的性质得：∠2=∠3，
∵∠3=∠4，
∴∠1=∠4，
∴AM=AE；
∵EF∥MB，ME∥BF，
∴四边形BFEM是平行四边形，
∴MB=EF=10，
∴AM=MB-AB=10-4，
∴AE=10-4.

思路点拨2
等腰三角形+平行四边形

作AG∥BF交EF于点G；
易证：AG∥BF∥EN，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
由轴对称的性质得：∠2=∠3，
∴∠1=∠4，
∴GE=AE；
∵GF∥AB，AG∥BF，
∴四边形BFGA是平行四边形，
∴GF=AB=4，
∴GE=EF-GF=10-4，
∴AE=10-4.

思路点拨3
等腰三角形+平行四边形

作FG∥AE交AB的延长线于点G；
∵AG∥EF，
∴∠1=∠2，
∵EN∥BF，
∴∠2=∠3，
由轴对称的性质得：∠3=∠CEF，
∵FG∥AE，∠CEF=∠GFE，
∴∠2=∠GFE，
∴∠2=∠4，
∴∠1=∠4，
∴GB=GF；
∵FG∥AE，AG∥EF，
∴四边形AEFG是平行四边形，
∴AG=EF=10，GF=AE，
∴GB=AG-AB=10-4，
∴AE=10-4.

思路点拨4
等腰三角形+平行四边形

作BG∥AE交EF于点G；
∵EN∥BF，
∴∠1=∠2，
由轴对称的性质得：∠CEF=2∠2，
∵BG∥AE，
∴∠CEF=∠BGE，
∴∠BGE=2∠1，
∴∠1=∠3，
∴GB=GF；
∵BG∥AE，AB∥EG，
∴四边形ABGE是平行四边形，
∴EG=AB=4，GB=AE，
∴GF=EF-EG=10-4，
∴AE=10-4.

思路点拨5
等腰三角形+直角三角形

延长FB、CA交于点G；
由轴对称的性质得：∠1=∠2，
∵∠BFC=90°，
∴∠1+∠4=90°，∠2+∠3=90°，
∴∠3=∠4，
∴EG=EF=10，
∵AB∥EF，
∴∠4=∠5，
∴∠3=∠5，
∴AG=AB=4，
∴AE=EG-AG=10-4.

思路点拨6
等腰三角形+中位线

取AC的中点G，连接DG，
则：DG∥AB∥EF，DG=AB=2；
∴∠1=∠2，
由轴对称的性质得：∠1=∠3，EC=EF=10，
∴∠2=∠3，
∴EG=DG=2，
∵AC=2AG，
即：AE+EC=2(AE+EG)，
∴AE+10=2(AE+2)，
∴AE=10-4.

END

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