【数学思维能力训练第七期】【一题多解】【几何综合】

试题来源:(人教版)教材原题
解析分享:(16班)赵锡源王妍雯
(15班)孔祥瑞叶一帆
刘梦涵淡奕铭郑明轩

试题内容

如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高，连接EF交AD于点O.
求证：AD垂直平分EF.

方法1:全等

根据AAS证明△ADE≅△ADF，
∴AE=AF.

方法2:角平分线的定义与性质

∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠1=∠2，∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90°，
∴∠3=∠4，即DA平分∠EDF，
∵AE⊥DE，AF⊥DF，
∴AE=AF.

方法3:角平分线的性质
等腰三角形的性质和判定

∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，∠5+∠7=90°，∠6+∠8=90°，
∴∠5=∠6，
∴∠7=∠8，
∴AE=AF.

方法1:全等1

根据SAS证明△AOE≅△AOF，
∴∠AOE=∠AOF=90°，OE=OF，
∴AD垂直平分EF.

方法2:三线合一

∵AE=AF，AD平分∠BAC，
∴AO⊥EF，OE=OF，
∴AD垂直平分EF.

方法3:全等2

在【定义法上-方法2、3】的基础上：
根据SAS证明△DOE≅△DOF，
∴∠DOE=∠DOF=90°，OE=OF，
∴AD垂直平分EF.

方法1:同【定义法上-方法1】

方法2:同【定义法上-方法3】

两点确定一条直线

∵AE=AF，DE=DF，
∴点A、点D都在线段EF的垂直平分线上，
∴AD垂直平分EF.

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