试题来源:(人教版)教材原题
解析分享:(16班)赵锡源 王妍雯
(15班)孔祥瑞 叶一帆
刘梦涵 淡奕铭 郑明轩
如图,AD是△ABC的角平分线,DE、DF分别是△ABD和△ACD的高,连接EF交AD于点O.
求证:AD垂直平分EF.
方法1:全等
根据AAS证明△ADE≅△ADF,
∴AE=AF.
方法2:角平分线的定义与性质
∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,
∴∠1=∠2,∠1+∠3=90°,∠2+∠4=90°,
∴∠3=∠4,即DA平分∠EDF,
∵AE⊥DE,AF⊥DF,
∴AE=AF.
方法3:角平分线的性质
等腰三角形的性质和判定
∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,
∴DE=DF,∠5+∠7=90°,∠6+∠8=90°,
∴∠5=∠6,
∴∠7=∠8,
∴AE=AF.
方法1:全等1
根据SAS证明△AOE≅△AOF,
∴∠AOE=∠AOF=90°,OE=OF,
∴AD垂直平分EF.
方法2:三线合一
∵AE=AF,AD平分∠BAC,
∴AO⊥EF,OE=OF,
∴AD垂直平分EF.
方法3:全等2
在【定义法上-方法2、3】的基础上:
根据SAS证明△DOE≅△DOF,
∴∠DOE=∠DOF=90°,OE=OF,
∴AD垂直平分EF.
方法1:同【定义法上-方法1】
方法2:同【定义法上-方法3】
两点确定一条直线
∵AE=AF,DE=DF,
∴点A、点D都在线段EF的垂直平分线上,
∴AD垂直平分EF.
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