【数学思维能力训练第十一期】【几何综合】【一题多解】

试题来源
2021中考真题改编

试题内容

在等边△ABC中，AB＝6，BD⊥AC，垂足为D，点F为BD上一点，将线段BF绕点B逆时针旋转60°得到线段BG，连接FG．如图，当GF的延长线过点C时，连接DG，则线段DG=       .

解法分析

条件的初步加工

△BFG是等边三角形，
△BGC是含30°的直角三角形，
BD平分∠ABC，BD垂直平分AC.

方法1：轴对称全等+勾股定理
王平 孔祥瑞(15班)

如图，连接AG，
根据SAS证明△GBC≅△GAC，
进而证明AG=BG==2，
△ADG是直角三角形，
因为AD=3，
由勾股定理得：DG=.

方法2：手拉手全等+勾股定理
淡奕铭(15班) 李一睿(16班)

如图，连接AG，
根据SAS证明△GBA≅△FBC，
再证明∠GAB=∠FCB=30°，
AG=CF=CG-GF=2，
进而证明△ADG是直角三角形，
因为AD=3，
由勾股定理得：DG=.

方法3：构造特殊直角三角形+勾股定理
马鸣苁 王平 郭桐仰 孔祥瑞(15班)

如图，作DH⊥CG于点H，
在Rt△BGC中，
CG==4，
在Rt△CDH中，
DH=CD=，CH=DH=，
在Rt△DGH中，
GH=CG-CH=，
由勾股定理得：
DG=.

方法4：构造特殊直角三角形+勾股定理
叶一帆(15班)

如图，作GH⊥BD于点H，
在Rt△BDC中，
BD=BC·sin60°=3，
在Rt△BGC中，
BG=(BC/tan60°)=2，
在Rt△BGH中，
BH=BG=，GH=BH=3，
在Rt△DGH中，
DH=BD-BH=2，
由勾股定理得：
DG=.

方法5：隐圆+勾股定理
孔祥瑞(15班)

如图，连接AG，
由∠BGC=∠BAC=60°，
可得：点B、C、A、G四点共圆，
所以：∠GAC=180°-∠GBC=90°，
∠AGC=∠ABC=60°，
在Rt△ACG中，
AG==2，
在Rt△ADG中，
因为AD=3，
由勾股定理得：DG=.

方法6：垂直平分线+勾股定理
张益蒙(15班)

如图，连接AG，
易证∠BCO=∠ACO=30°，
根据“三线合一”证明：
CG垂直平分AB，
由轴对称的性质得：
∠GAC=∠GBC=90°，
在Rt△ACG中，
AG==2，
在Rt△ADG中，
因为AD=3，
由勾股定理得：DG=.

方法7：轴对称全等转化+勾股定理
孔祥瑞(15班)

取BC的中点H，连接GH，
根据SAS证明：△GDC≅△GHC，
所以：DG=HG，
在Rt△BHG中，
BG==2，BH=3，
由勾股定理得：HG=，
即：DG=.

方法8：矩形+勾股定理
孔祥瑞(15班)

作DE⊥BG于点E，作DH⊥BC于点H，
易证：四边形BHDE是矩形，
在Rt△DHC中，
CH=CD=，DH=CH=，
在Rt△BCG中，
BG==2，
在Rt△DEG中，
DE=BH=BC-CH=，
EG=BG-BE=BG-DH=，
由勾股定理得：DG=.

方法9：相似三角形+复合勾股定理
孔祥瑞(15班)

作DH⊥DG，交BC于点H，连接DH、GH，
根据“两组对应角相等的两个三角形相似”
证明：△GDB∼△HDC，
所以：DG:DH=GB:HC=DB:DC，
即：DG:DH=2:HC=3:3，
得：HC=2，DH=DG，
进而求得：BH=BC-HC=4，
在Rt△BHG和Rt△DHG中，
由勾股定理得：
BG+BH=DG+DH，
即：(2)+4=DG+(DG)
解得：DG=.