【数学思维能力训练第十三期】【几何综合】【一题多解】

试题来源：(人教版)
八年级下册原题

试题内容：

如图,△ACB和△ECD都是等腰直角三角形,CA=CB,CE=CD,△ACB的顶点A在△ECD的斜边DE上.
求证:AD+AE=2AC.

解法分析

同学们不难发现，此题的结论可改写为：AD+AE=AB，它与勾股定理有关，因此思考的主要方向是将AD、AE、AB“转移”到同一个直角三角形中.

方法1：手拉手全等(转移AE)
王平(15班) 李一睿(16班)

连接BD，
根据SAS证明△ACE≅△BCD，
根据全等三角形的性质得：
AE=BD，∠E=∠CDB=45°，
进而证明△ADB是直角三角形，
由勾股定理得：
AB=2AC，
AB=AD+BD=AD+AE，
即：AD+AE=2AC.

方法2：手拉手全等(转移AD、AB)
孔祥瑞(15班)

作点B关于AC的对称点B'，连接B'C、B'A、B'E，
根据SAS证明△ACD≅△B'CE，
根据全等三角形的性质得：
AD=B'E，∠B'EC=∠D=45°，
进而证明△AEB'是直角三角形，
由勾股定理得：
AB'=2AC，
AB'=B'E+AE=AD+AE，
即：AD+AE=2AC.

方法3：勾股定理(比例转移AE、AD)

作AF⊥EC于点F，作AG⊥CD于点G，
易证：四边形AGCF是矩形，
进而证明：CG=AF，
2AG=AD，2AF=AE，
在Rt△AGC中，
AG+CG=AC，
所以：2AG+2AF=2AC，
即：AD+AE=2AC.