【2021江西中考22】【孔像抛物线】【含参函数】【函数图象的交点】

江西卷

2021中考数学

试题内容

二次函数=-2的图象交轴于原点O及点A.
感知特例
(1)当=1时,如图1,抛物线L:=-2上的点B,O,C,A,D分别关于点A中心对称的点为 B',O',C',A',D',如下表:

①补全表格;
②在图1中描出表中对称后的点,再用平滑的曲线依次连接各点,得到的图象记为L'.

形成概念
我们发现形如(1)中的图象L'上的点和抛物线L上的点关于点A中心对称,则称L'是L的“孔像抛物线”. 例如,当=-2时,图2中的抛物线L'是抛物线L的“孔像抛物线”.

探究问题
(2)①当=-1时,若抛物线L与它的“孔像抛物线”L′的函数值都随着的增大而减小,则的取值范围为     ;
②在同一平面直角坐标系中,取不同值时,通过画图发现存在一条抛物线与二次函数=-2的所有“孔像抛物线”L'都有唯一交点,这条抛物线的解析式可能是     (填“=++”或“=+”或“=+”或“=”,其中≠0);
③若二次函数=-2及它的“孔像抛物线”与直线=有且只有三个交点,求的值.

解法分析(1)①

点A在坐标为(2,0)；

解法分析(1)②

如图所示：

解法分析(2)①

当=-1时，点A的坐标为(-2,0)，
点O关于点A的对称点B的坐标为(-4,0)，
如图，当-3≤≤-1时，抛物线L与它的“孔像抛物线”L′的函数值都随着的增大而减小.

解法分析(2)②

抛物线L与轴的交点为(0,0)和(2,0)，
∴L的解析式为：=(-2)，
孔像抛物线L'与轴的交点为(2,0)和(4,0)，
∴L'的解析式为：=-(-2)(-4)，
∴L'对称分布在轴两侧，
∴所求抛物线关于轴对称，
∵当=0时，L'的解析式为：=-，
∴所求抛物线经过原点，
设所求抛物线解析式为：=，与L'解析式联立得：-(-2)(-4)=，
化为一般式：(+1)-6+8=0，
由△=0得：(1-8)=0，
当≠0时，=，
当=0时，可以取任意非0实数，
∴所求抛物线的解析式为：=.

动态演示

解法分析(2)③

抛物线L的解析式为：=(-2)，顶点坐标为(,-)，
孔像抛物线L'的解析式为：=-(-2)(-4)，顶点坐标为(3,)，
L和L'关于点A(2,0)对称.

分类讨论

①直线=经过点(,-)
-=，
解得：=0或-1；
②直线=经过点(3,)
=，
解得：=0或1；
③直线=经过点(2,0)
=0，
当=0时，L、L'、直线=只有一个交点，不符合题意舍去.
综上所述：若二次函数=-2及它的“孔像抛物线”与直线=有且只有三个交点,则=±1.

动态演示

END

篇幅有限

思维无限

欢迎留言