【2022江苏南通25】【点到直线的距离】【标准图】

江苏卷

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12022江苏南通25

2解法分析(1)

根据AAS证明△ABE≅△AMF即可.

3解法分析(2)

线段AE长度的取值范围

当点E从点B运动到点C时，
线段AE的长度由4增大到5；
当点E从点C运动到点D时，
线段AE的长度由5减小到3；
因此，运动过程中，AE=3存在两种情况.

标准图

1.以点D为圆心，AD长为半径画圆，交CD于点G，则AG=3；
2.以点A为圆心，AG长为半径画圆，交BC于点E，交CD于点E(与点G重合).

分类讨论

1.如左图：点E位于BC上.
依题意补全图形，作FM⊥AC于点M，
与(1)同理，可证△ABE≅△AMF，
所以：MF=BE=，AM=AB=4，
进而求得：MC=1，
在Rt△FMC中，由勾股定理得：
CF=.

2.如右图：点E位于CD上.
依题意补全图形，
作FM⊥AC于点M，
易证：△AMF是等腰直角三角形，
则：AM=FM=3，
进而求得：MC=2，
在Rt△FMC中，由勾股定理得：
CF=.

综上所述：CF的长为或.

4解法分析(3)

点F的运动轨迹(第一段)

当点E在BC上运动时，作FM⊥AC于点M，
与(1)同理，可证△ABE≅△AMF，
则：在变化过程中，∠AMF=90°恒成立，
过点M作AC的垂线，
则：点F在直线上运动.

计算部分

当DF⊥直线时，取得最小值，
由(2)得：MC=1，
则：NC==，ND=，
所以：DF=ND·cos∠FDC=.

点F的运动轨迹(第二段)

当点E在CD上运动时，连接BE、FM，
根据SAS证明△ABE≅△AMF，
因为：在变化过程中，点E到AB的距离为定值3，
所以：点F到AM的距离为定值3，
过点F作AM的平行线，
则：点F在直线上运动.

计算部分

当DF⊥直线时，取得最小值.
易求得：DQ=，
所以：DF=FQ-DQ=.

综上所述：DF的最小值为.

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