四川卷
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解法分享
孔祥瑞 王梓萱
抛物线=--4与轴交于点A、B,与y轴交于点C,点P是抛物线上一点,当△BCP的面积为某值时,符合条件的点P有且只有三个,求此时△BCP的面积.
易求得:
点B的坐标为(4,0),点C的坐标为(0,4),
直线BC的解析式为:=-4.
平行线间的等积变换
直线与直线关于直线BC对称.
(直线在直线BC下方)
当直线与抛物线相切时,
符合条件的点P有且只有三个.
方法1:数形结合
设直线的解析式为:=+,
联立直线和抛物线的解析式,得:
+=--4,
化为一般式:
-4-12-3=0,
由△=0,得:=-,
解方程①得:=2,
∴点P的坐标为(2,-).
根据割补法求得:
此时△BCP的面积为.
方法2:函数模型求最值
若点P是第四象限内抛物线上一点,
当直线与抛物线相切时,
△BCP的面积最大.
过点P作轴的垂线,交BC于点Q,
设点P的坐标为(,--4),
则点Q的坐标为(,-4),
∴S=(-)(-)
=-+=-(-2)+,
∴S的最大值为,
∴此时△BCP的面积为.
方法3:点到直线的距离
若点P是第四象限内抛物线上一点,
当直线与抛物线相切时,
点P到直线BC的距离最大.
设点P的坐标为(,--4),
作PQ⊥BC于点Q,则:
PQ=
=-(-2)+,
∴PQ=,
∴S=BC×PQ=,
∴此时△BCP的面积为.
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