【数学思维能力训练第35期】【平行线-相似】【一题多解】

试题内容：

如图，在△ABC中，点D在AC边上，AD:DC＝1:2，点O是BD的中点，连接AO并延长交BC于点E， 则BE:EC＝     .

解法分享

郝睿宸 王雨辰

解法分析

作AC的平行线

方法1

过点B作AC的平行线，交AE的延长线于点F.
(辅助线可替换为：延长AO至点F，使FO=AO，连接BF.)

1.△AOD∼△FOB
⇒AD:BF=DO:OB=1:1
⇒AD=BF；
2.△FEB∼△AEC
⇒BE:EC=BF:AC=AD:AC=1:3.

方法2

作OF∥AC，交BC于点F.

1.△OBF∼△DBC
⇒OF:DC=BF:BC=BO:BD=1:2
⇒OF=AD，BF=FC；
2.△OEF∼△AEC
⇒EF:EC=OF:AC=1:3
⇒EC=3EF，BF=FC=2EF；
3.BE:EC=(BF-EF):EC=1:3.

作BC的平行线

方法1

过点D作BC的平行线，交AE于点F.

1.△FOD∼△EOB
⇒DF:BE=DO:OB=1:1
⇒DF=BE；
2.△AFD∼△AEC
⇒BE:EC=DF:EC=AD:AC=1:3.

方法2

过点A作BC的平行线，交BD的延长线于点F.

1.△AFD∼△CBD
⇒AF:BC=FD:BD=AD:CD=1:2
⇒BC=2AF，FD=OD；
2.△AFO∼△EBO
⇒BE:AF=BO:FO=1:2
⇒BE=(1/2)AF；
3.BE:BC=1:4
⇒BE:EC=1:3.

方法3

作OF∥BC，交AC于点F.

1.△ODF∼△BDC
⇒DF:DC=OF:BC=DO:DB=1:2
⇒DF=FC，BC=2OF；
2.△AOF∼△AEC
⇒OF:EC=AF:AC=2:3
⇒EC=(3/2)OF；
3.BE:EC=(BC-EC):EC=1:3.

作AE的平行线

方法1

作DF∥AE，交BC于点F.

1.OE∥DF
⇒BE:EF=BO:OD=1:1
⇒BE=EF；
2.DF∥AE
⇒FC:EF=DC:AD=2:1
⇒FC=2EF；
3.BE:EC=EF:3EF=1:3.

方法2

过点C作AE的平行线，交BD的延长线于点F.

1.AE∥CF
⇒DO:DF=AD:DC=1:2
⇒DF=2DO⇒OF=3BO；
2.AE∥CF
⇒BE:EC=BO:OF=1:3.

方法3

过点B作AE的平行线，交CD的延长线于点F.

1.AE∥BF
⇒FA:AD=BO:OD=1:1
⇒FA=AD⇒AC=3FA；
2.AE∥BF
⇒BE:EC=FA:AC=1:3.

作BD的平行线

过点C作BD的平行线，交AE的延长线于点F.

1.△AOD∼△AFC
⇒OD:FC=AD:AC=1:3
⇒FC=3OD；
2.△BEO∼△CEF
BE:EC=BO:FC=OD:FC=1:3.