【数学思维能力训练第38期】【手拉手】【一题多解】

试题内容

如图，在正方形ABCD中，AB=4，AC与BD交于点O，点P、Q分别在线段AO、BC上， 且满足BQ=AP，以PQ为斜边作等腰直角三角形PQM，使点M与B位于PQ的两侧， 当点P从点A运动到点O时，点M的运动路径长是           .

解法分析

轨迹法

初中阶段，动点的运动路径一般为直线型或圆弧型.因此，选择动点的三个瞬时状态， 即可猜测出动点的运动轨迹.

1.起始点
当点P与点A重合时，点Q与点B重合，点M与点O重合.
2.中途任意一点
选择配图中的点M即可.
3.终止点
当点P与点O重合时，点Q与点C重合，点M位于CD的中点N处.

∴点M的运动路径为线段ON，
∴点M的运动路径长是2.

动态演示

手拉手

将点P绕点O逆时针旋转90°至点N，连接NQ、OM.
△PON和△PMQ是手拉手的等腰直角三角形，
易证：△PNQ∼△POM，相似比为，
∴NQ=OM.
运动过程中，NQ从0(两点重合)逐渐增大到4(与OC重合)，
∴OM从0逐渐增大到2，
∴点M的运动路径长是2.

条件重构-手拉手

如图，在正方形ABCD中，AB=4，AC与BD交于点O，点P在线段AO上， 连接PD，过点P作PD的垂线，交BC于点Q，连接DQ，取DQ的中点M，连接PM. 当点P从点A运动到点O时，点M的运动路径长是          .

易证：△ADB和△PDQ是手拉手的等腰直角三角形，
进而证明：△PQM是以PQ为斜边的等腰直角三角形；
△BDQ∼△ADP，相似比为，
∴BQ=AP.
(条件重构完成，新世界的大门打开了.)

手拉手

△AOD和△PMD是手拉手的等腰直角三角形，
易证：△APD∼△OMD，相似比为.
∴AP=OM.
运动过程中，AP从0(两点重合)逐渐增大到4(与AO重合)，
∴OM从0逐渐增大到2，
∴点M的运动路径长是2.

瓜豆现象
∵PD:MD=，∠PDM=45°，
∴点M的运动路径为直线型.

中位线

在△BDQ中，根据中位线定理得：
OM=BQ.
运动过程中，BQ从0(两点重合)逐渐增大到4(与BC重合)，
∴OM从0逐渐增大到2，
∴点M的运动路径长是2.

瓜豆现象
∵QD:MD=2，∠QDM=0°，
∴点M的运动路径为直线型.

再思考

运动过程中，
1.点D、M、Q三点共线，且点M是线段DQ的中点.
2.点C、D、P、Q四点共圆.
3.△PDQ是等腰直角三角形.
4.点P、O、M、D四点共圆.
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