【名图赏析第三期】【常用辅助线】【截长补短】【知二推一】【一题多解】

试题内容

如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E是边CD上一点，且AE平分∠BAD，BE平分∠ABC.求证：点E是线段CD的中点.

解法分享

沈美林   张嘉怡   王雨辰
张一甲   赵芃博   张益蒙
王小熳   董紫轩   高    阔

解法分析

思路1：角平分线的性质

基本图形

过点E作AD的垂线，交AD的延长线于点F，交BC于点H，易证：EH⊥BC.作EG⊥AB于点G，
根据“角平分线的性质定理”可证：
EF=EG=EH，
根据ASA/AAS证明：△DFE≅△CHE，
∴DE=CE，
∴点E是线段CD的中点.

思路2：二线合一→三线合一

基本图形

易证：∠AEB=90°.延长AE交BC的延长线于点F.
根据ASA证明：△AEB≅△FEB，
∴AE=FE，
根据ASA/AAS证明：△ADE≅△FCE，
∴DE=CE，
∴点E是线段CD的中点.

延长BE交AD的延长线于点F.同理可证.

思路3：截长补短

基本图形

在AB上截取AF=AD，连接EF.
根据SAS证明：△ADE≅△AFE，
∴DE=FE，∠D=∠AFE，
根据“等角的补角相等”证明：
∠C=∠BFE，
根据AAS证明：△BFE≅△BCE，
∴FE=CE，
∴DE=CE，
∴点E是线段CD的中点.

在BA上截取BF=BC，连接EF.同理可证.

思路4：平行线(知二推一)

基本图形

过点E作AD的平行线，交AB于点F.
易证：AD∥EF∥BC.
∴∠1=∠2，
∵∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴EF=AF.
同理可证：EF=BF，
∴AF=BF，
∴==1，
∴DE=CE，
∴点E是线段CD的中点.

延长AE交BC的延长线于点F.
∵AD∥BC，
∴∠1=∠2，
∵∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴BA=BF，
∵BE平分∠ABC，
∴AE=FE(三线合一)，
根据AAS/ASA证明：△ADE≅△FCE，
∴DE=CE，
∴点E是线段CD的中点.

延长BE交AD的延长线于点F.同理可证.

思路5：斜边中线定理

基本图形

易证：∠AEB=90°.
取AB的中点F，连接EF，
则：EF=AF.
∴∠1=∠2，
∵∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴AD∥EF，
易证：AD∥EF∥BC，
∴==1，
∴DE=CE，
∴点E是线段CD的中点.

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