如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,点E是边CD上一点,且AE平分∠BAD,BE平分∠ABC.求证:点E是线段CD的中点.
沈美林 张嘉怡 王雨辰
张一甲 赵芃博 张益蒙
王小熳 董紫轩 高 阔
思路1:角平分线的性质
基本图形
过点E作AD的垂线,交AD的延长线于点F,交BC于点H,易证:EH⊥BC.作EG⊥AB于点G,
根据“角平分线的性质定理”可证:
EF=EG=EH,
根据ASA/AAS证明:△DFE≅△CHE,
∴DE=CE,
∴点E是线段CD的中点.
思路2:二线合一→三线合一
基本图形
易证:∠AEB=90°.延长AE交BC的延长线于点F.
根据ASA证明:△AEB≅△FEB,
∴AE=FE,
根据ASA/AAS证明:△ADE≅△FCE,
∴DE=CE,
∴点E是线段CD的中点.
延长BE交AD的延长线于点F.同理可证.
思路3:截长补短
基本图形
在AB上截取AF=AD,连接EF.
根据SAS证明:△ADE≅△AFE,
∴DE=FE,∠D=∠AFE,
根据“等角的补角相等”证明:
∠C=∠BFE,
根据AAS证明:△BFE≅△BCE,
∴FE=CE,
∴DE=CE,
∴点E是线段CD的中点.
在BA上截取BF=BC,连接EF.同理可证.
思路4:平行线(知二推一)
基本图形
过点E作AD的平行线,交AB于点F.
易证:AD∥EF∥BC.
∴∠1=∠2,
∵∠1=∠3,
∴∠2=∠3,
∴EF=AF.
同理可证:EF=BF,
∴AF=BF,
∴==1,
∴DE=CE,
∴点E是线段CD的中点.
延长AE交BC的延长线于点F.
∵AD∥BC,
∴∠1=∠2,
∵∠1=∠3,
∴∠2=∠3,
∴BA=BF,
∵BE平分∠ABC,
∴AE=FE(三线合一),
根据AAS/ASA证明:△ADE≅△FCE,
∴DE=CE,
∴点E是线段CD的中点.
延长BE交AD的延长线于点F.同理可证.
思路5:斜边中线定理
基本图形
易证:∠AEB=90°.
取AB的中点F,连接EF,
则:EF=AF.
∴∠1=∠2,
∵∠1=∠3,
∴∠2=∠3,
∴AD∥EF,
易证:AD∥EF∥BC,
∴==1,
∴DE=CE,
∴点E是线段CD的中点.
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