【数学思维能力训练第41期】【"两动一定"型最值问题-全等转化】

试题内容

如图，在菱形ABCD中，AB=3，∠ABC=60°，点E为BC上一点，连接AE，点H是对角线BD上的动点，且BE=DH，则AE+AH的最小值为        .

解法分析

      AE+AH中包含两个动点和一个定点.以往遇到此类问题，主要依靠图形变换(平移、轴对称)将其中一条线段转化，通过减少动点个数来解决.但是，本题通过平移、轴对称转化其中一条线段的同时，并没有减少动点的个数.因此，需要另辟蹊径来转化.
      条件“BE=DH”带有鲜明的全等特色，因此本题考虑通过构造全等三角形将AH进行转化.
      因为在△AHD中，DH与AD(长度为3)夹角为30°；所以构造的三角形中，BE与长度为3的线段夹角应为30°.

转化1

将BC绕点B逆时针旋转30°，得到线段BF，连接EF.
易证：点F在BD上.
根据SAS证明：△AHD≅△FEB，
∴AH=FE.
∴“求AE+AH的最小值”转化为“求AE+FE的最小值”.
(将军饮马问题)
作点A关于BC的对称点A'，连接A'F，A'B，
∴“求AE+FE的最小值”转化为“求A'F的长”.
易证：△A'BF是等腰直角三角形，
∴A'F=BF=3，
∴AE+AH的最小值是3.

转化2

将BC绕点B顺时针旋转30°，得到线段BF，连接EF、AF.
根据SAS证明：△AHD≅△FEB，
∴AH=FE.
∴“求AE+AH的最小值”转化为“求AE+FE的最小值”.
(三点共线问题)
当点A、E、F三点共线时，
AE+FE取得最小值，即AF的长.
易证：△ABF是等腰直角三角形，
∴AF=AB=3，
∴AE+AH的最小值是3.

转化3、4

同理，我们也可以通过构造全等三角形将AE进行转化.

如左图：将CD绕点D逆时针旋转30°，得到线段FD，连接HF、AF.

如右图：将AD绕点D顺时针旋转30°，得到线段FD，连接HF、CF.

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