【2023领跑中考-最值问题】【隐圆】【函数模型求最值】

试题内容

如图，在等边三角形ABC中，AB＝6，P为AB上一动点，PD⊥BC，PE⊥AC，则DE的最小值为_____．

解法分析-几何法

隐圆

∵∠PDC+∠PEC=180°，
∴点P、D、C、E四点共圆，圆心为CP的中点O.

120°的等腰三角形

连接OD、OE.
由圆周角定理得：
∠DOE=2∠DCE=120°，
∴DE=OD=OC=×CP，
∴“求DE的最小值”可转化为“求CP的最小值”.

垂线段最短

当CP⊥AB时，CP取得最小值.
易求得：CP=3，
∴DE=××3=.

动态演示

随着点P的运动，圆O的大小和位置会发生变化，但△DOE的形状不变.

解法分析-函数法

特殊三角形

作EF⊥BC于点F.
易证：△AEP、△BDP、△CFE都是含30°的直角三角形.

函数模型求最值

设AE=，则：
AP=2，BP=6-2，BD=3-，
CE=6-，CF=3-，EF=3-，
DF=6-BD-CF=.
在Rt△DFE中，由勾股定理得：
DE=DF+EF，
∴DE=3-9+27=3(-)+，
∴DE的最小值为，
∴DE的最小值为.

再思考

结论：PE+PD为定值

证法1：面积法
连接CP，作AG⊥BC于点G.
∵S+S=S,
∴AC×PE+BC×PD=BC×AG，
∴PE+PD=AG=3.

证法2：代数法
设AE=，BD=3-，
∴PE=，PD=(3-)，
∴PE+PD=3.

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