【2023解析与检测-最值问题】【平行线、中点型全等】【等积变换】

试题内容

解法分析1

情况1：直线与AC交于点H.

1.线段的转化
作CG⊥直线于点G.
根据AAS证明：△CDG≅△BDF，
∴CG=BF，
∴“求AE+BF的最大值”可转化为“求AE+CG的最大值”.

2.共底三角形
连接AD.
S
=S+S
=DH×AE+DH×CG
=DH×(AE+CG)，
∵S是定值，
∴“求AE+CG的最大值”可转化为“求DH的最小值”，
∴当直线与AC垂直时，DH取得最小值.

3.计算部分
过点D作AC的垂线，垂足为H，则：
AH⊥直线于点H，CH⊥直线于点H，
即：AE=AH，CG=CH，
∴AE+CG=AH+CH=AC.
作AM⊥BC于点M.
易求得：AC=，
∴AE+BF的最大值=AC=.

情况2：直线l与AB交于点H.

与情况1同理可得：
AE+BF的最大值=AB=2.

综上所述：AE+BF的最大值为.

解法分析2

情况1：直线与AC相交.

1.线段的转化
作CG⊥直线于点G.
根据AAS证明：△CDG≅△BDF，
∴CG=BF.
过点C作直线的平行线，延长AE交直线于点H.
易证：EH=BF,
∴“求AE+BF的最大值”可转化为“求AH的最大值”.

2.过定点的直线
∵AH≤AC，
∴AH=AC，
∴AE+BF的最大值=AC=.

情况2：直线与AB相交.

与情况1同理可得：
AE+BF的最大值=AB=2.

综上所述：AE+BF的最大值为.

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