【2023四川成都26】【常用辅助线】【中点问题】

2023四川成都26

解法分析(1)

旋转型全等

连接CD.
易证：∠ACD=∠B=45°，CD=BD.
根据“同角的补角相等”可证：
∠1=∠2，
根据AAS证明：△EDC≅△FDB，
∴CE=BF，
∴AE+BF
=AE+CE
=AC
=AB.

角平分线的性质+旋转型全等

1.当点E在AM上时：
连接CD，则CD平分∠ACB，
作DM⊥AC于点M，作DN⊥BC于点N，
∴DM=DN；

根据“同角的补角相等”可证：
∠1=∠2，
根据AAS证明：△EDM≅△FDN，
∴EM=FN，
∴AE+BF
=AE+BN+FN
=AE+BN+EM
=AM+BN
=AD+BD
=AB.
2.当点E在CM上时：同理可证.
3.当点E与点M重合时：同理可证.
(此种证法需要考虑点M与点E的位置关系.)

隐圆+一线三直角型全等

∵∠ECF+∠EDF=180°，
∴点E、C、F、D四点共圆.
连接CD，则∠ACD=∠BCD，
∴DE=DF；

作EM⊥AB于点M，作FN⊥AB于点N，
设AM=，BN=.
根据“同角的余角相等”可证：
∠1=∠2，
根据AAS证明：△EDM≅△DFN，
∴EM=DN=，DM=FN=，
易求得：
AE+BF=(+)，AB=2(+)，
∴AE+BF=AB.

解法分析(2)①

旋转型相似

1.当点E在CM上时：
作DM⊥AC于点M，作DN⊥BC于点N，
设AM=DM=，EM=，
易求得：AD=，BD=2，
BN=DN=2.

根据“同角的补角相等”可证：
∠1=∠2，
易证：△EDM∼△FDN，
∴==，
∴FN=2，BF=2-2.
易求得：
AE+BF=2，AB=3，
(通过改变AE和BF的系数将消除.)
∴AE+BF=AB.
2.当点E在AM上时：同理可证.
3.当点E与点M重合时：同理可证.
(此种证法需要考虑点M与点E的位置关系.)

解法分析(2)②

旋转型相似

1.当点F在BC上时：
①当点E在CM上时：
作DM⊥AC于点M，作DN⊥BC于点N，
设AM=DM=，EM=，
易求得：AD=，BD=，
BN=DN=.

根据“同角的补角相等”可证：
∠1=∠2，
易证：△EDM∼△FDN，
∴==，
∴FN=，BF=-.
易求得：
AE+BF=2，AB=(+1)，
(通过改变AE和BF的系数将消除.)
∴AE+BF=AB.
②当点E在AM上时：同理可证.
③当点E与点M重合时：同理可证.
(此种证法需要考虑点M与点E的位置关系.)

2.当点F在BC的延长线上时:

同理可求得：
AE=-，BF=+，
∴AE+BF=2，AB=(+1)，
(通过改变AE和BF的系数将消除.)
∴AE+BF=AB.

3.当点F在CB的延长线上时：

同理可求得：
AE=+，BF=-，
∴AE-BF=2，AB=(+1)，
(通过改变AE和BF的系数将消除.)
∴AE-BF=AB.

综上所述：
当点F在射线BC上时，AE+BF=AB；
当点F在CB的延长线上时，AE-BF=AB.

解法分析(3)

点M的运动路径

连接MC、MD.
根据“直角三角形斜边中线定理”可证：
MC=EF，MD=EF，
∴MC=MD，
∴点M在CD的垂直平分线上运动.

当点E与点A重合时，点M位于点M处，
当点E与点C重合时，点M位于点M处，
∴点M的运动路径为MM.

计算部分

1.先将MM置于直角三角形中，再利用勾股定理求MM的长.

取CF的中点P，连接MP，
由中位线定理得：
MP∥AC，MP=AC=1，
进而证明：∠MPM=90°.

2.研究成果的应用
∵点F在射线BC上，
∴AE+BF=AB，
∴BF=；
∵点F在CB的延长线上，
∴AE-BF=AB，
∴BF=2-，
∴FF=BF+BF=2，
∴MP=FF=，
∴MM==，
∴点M运动的路径长为.