【2023浙江宁波15】【圆背景下的等腰三角形存在性问题】

2023浙江宁波15

解法分析

相似三角形(切割线定理)

分析条件可得：
BD=3(点B到切点D的距离(切线长)已知)，
BE=3(点B到割点E的距离已知)，
同学们不难想到与切割线定理相关的相似三角形.虽然切割线定理在考试中不能直接使用，但它可以为我们提供思考方向.

连接OD.
易证：∠BDE=∠ODA=∠OAD，
根据“两组对应角分别相等的两个三角形相似”可证：
△BDE∼△BAD，
∴==，即：==，
∴BA=15，DE:AD=1:，
∴AE=12.

勾股定理(方程思想)

设DE=，AD=，
在Rt△ADE中，由勾股定理得：
DE+AD=AE，
即：+()=12，
解得：=2，
∴DE=2，AD=2.

分类讨论

1.当AD=AP时：
以点A为圆心，AD长为半径画圆，交AB于点P，连接PD，
则：AP=AD=2；

2.当AP=DP时：
作AD的垂直平分线，交AB于点P，连接PD，
易证：点P与点O重合，
则：AP=AE=6；

3.当AD=PD时：
以点D为圆心，DA长为半径画圆，交AB的延长线于点P，连接PD，
此时点P的位置不符合题意，此种情况舍去.

综上所述：AP的长为2或6.