【2023江苏镇江28】【旋转】【等积变换】

2023江苏镇江28

解法分析(1)

①-三角形内角和定理

由旋转的性质得：
∠1=∠B，∠2=∠C，
∴∠QAT=∠1+∠BAC+∠2
=∠B+∠BAC+∠C
=180°，
∴点Q、A、T在一条直线上.

②-矩形的判定定理

∵DG⊥EM，NH⊥EM，
∴∠1=∠5=∠3=90°.
由旋转的性质得：
∠2=∠1=90°，∠4=∠3=90°，
∴∠2=∠5=∠4=90°，
∴四边形FPGS是矩形.

③-AAS

易证：∠1=∠2=90°.
由旋转的性质得：
∠5=∠6，CN=AT，BM=AQ，
由等角的补角相等可证：
∠3=∠4.
易证：MN=DE=BC，
∴CN+BM=BC，
∴QT=AT+AQ=BC，
∴QT=MN.
根据AAS证明：△FQT≅△HMN.

④-割补法

由旋转的性质得：
S=S，S=S.
∵△FQT≅△HMN，
∴S=S，
∴S+S+S+S
=S+S+S+S，
∴S=S.

再思考

⑤△HMN≅△GED(AAS)
⑥GM=PQ=ES=EH(矩形的性质、旋转的性质)

解法分析(2)

梯形中位线定理的证明

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解法分析(3)

类比迁移

依题意补全图形：
与(1)同理可证：
①点K、A、D、T在一条直线上；
②四边形FJGS是矩形；
③△FKT≅△HMN；
④四边形FJGS的面积与梯形ABCD的面积相等；
⑤△HMN≅△GQP；
⑥GM=JK=QS=QH.

应用结论

∵梯形ABCD的面积
=
==36，
∴正方形FJGS的面积=36，
∴正方形FJGS的边长=6，
∴QM=QG+GM=QG+QS=6.

在△QMC中，作QI⊥MC于点I.
∴QI=QC·sin∠DCB=4.5×=3.6，
由勾股定理得：
∴IC==2.7，
MI==4.8，
∴MC=7.5，
∴BM=8-7.5=0.5.

再思考

∵sin∠MQI==，
∴∠MQI=∠QCM，
进而证明：∠MQC=90°.