【2023广州中考25】【特殊多边形】【轴对称】【等腰三角形的存在性问题】【隐圆】

2023广州中考25

解法分析(1)

等边三角形的判定

由轴对称的性质得：
BF=BC=BA，
∠EBF=∠EBC=90°-∠ABE=75°，
∴∠ABF=∠EBF-∠ABE=60°，
又∵BF=BA，
∴△ABF是等边三角形.

解法分析(2)①

类比迁移

设∠ABE=α.
由轴对称的性质得：
BF=BC=BA，
∠EBF=∠EBC=90°-∠ABE=90°-α，
∴∠ABF=∠EBF-∠ABE=90°-2α，
∴∠F==45°+α，
∴∠G=180°-∠EBF-∠F=45°.

分类讨论

1.当BF=BG时：
45°+α=45°，
∴α=0°，即点E与点A重合，
不符合题意，舍去.

2.当FB=FG时：
90°-α=45°，
∴α=45°，即点E与点D重合，
不符合题意，舍去.

3.当GB=GF时：
90°-α=45°+α，
∴α=22.5°，
∴当∠ABE=22.5°时，△BGF是等腰三角形.

解法分析(2)②-直接求解

隐圆(动圆)

如左图：
以BF为斜边作等腰直角三角形OBF.
∵∠BGF=45°(定角)，BF=+(定弦)，
∴点G在以点O为圆心，OB长为半径的圆上运动.

如右图：
当GO⊥BF于点M时，△BGF的面积取得最大值.
易求得：OM=+，OB=+，
进而求得：GM=+，
∴S=×BF×GM=.

结论的应用

当△BGF的面积取得最大值时，
易证：GB=GF，
由(2)①得：∠ABE=22.5°.
作BE的垂直平分线交AB于点N，连接EN.
易证：△ANE是等腰直角三角形.
设AE=AN=，则：BN=EN=，
∴+=+，
解得：=，即AE=.

解法分析(2)②-间接求解

隐圆(定圆)

如左图：
连接CG.由轴对称的性质得：
△BGC≅△BGF，∠BGC=∠BGF=45°.
以BC为斜边作等腰直角三角形BOC.
∵∠BGC=45°(定角)，BC=+(定弦)，
∴点G在以点O为圆心，OB长为半径的圆上运动.

如右图：
当GO⊥BC于点M时，△BGC的面积取得最大值.
易求得：OM=+，OB=+，
进而求得：GM=+，
∴S=×BC×GM=，
∴S=.

相似三角形

记GM交AD于点N，
则：GN=GM-NM=，
AN=AD=+.
易证：△AEB∼△NEG，
∴===2+2.
则：NE=，
∴AE+=+，
解得：AE=.