【2023湖北十堰24】【轴对称】【隐圆】

2023湖北十堰24

解法分析(1)

方法1：等腰三角形

连接DE.
由轴对称的性质得：ED=CD=AD，
∠CDE=2∠CDP=50°.
在等腰三角形ADE中，
∵∠ADE=∠ADC+∠CDE=140°，
∴∠DAF==20°.

方法2：隐圆-圆的定义

连接DE、AC.
由轴对称的性质得：ED=CD=AD，
∠CDE=2∠CDP=50°.
∴点A、C、E在以点D为圆心，AD长为半径的圆上，
∴∠CAE=∠CDE=25°，
∴∠DAF=∠CAD-∠CAE=20°.

解法分析(2)

方法1：八字型相似

连接CF、DE、AC.
由轴对称的性质得：
∠E=∠4，EF=CF，
进而证明：∠3=∠4.
在△ADO和△CFO中，
∵∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠OFC=∠ODA=90°，
∴AF+CF=AC，
∴AF+EF=2CD.

方法2：隐圆-定弦定角

与方法1同理可证：
∠3=∠4，EF=CF，
∴点A、D、F、C四点共圆，
∴∠AFC=∠ADC=90°，
∴AF+CF=AC，
∴AF+EF=2CD.

解法分析(3)

类比迁移+结论的应用

连接CE交直线DP于点G.

1.点F在线段DG上：
由(2)得：∠CFE=90°，
CD==.
易证：△CFE是等腰直角三角形.
由轴对称的性质得：
DP垂直平分CE，
∴CG=FG==，
∴DG==，
∴DF=DG-FG=.

2.点F在GD的延长线上：
与(2)同理可证：∠CFE=90°，
CD==.
易证：△CFE是等腰直角三角形.
由轴对称的性质得：
DP垂直平分CE，
∴CG=FG==，
∴DG==，
∴DF=FG-DG=.

3.点F在DG的延长线上：
与(2)同理可证：∠CFE=90°，
CD==.
易证：△CFE是等腰直角三角形.
由轴对称的性质得：
DP垂直平分CE，
∴CG=FG==，
∴DG==，
∴DF=DG+FG=.