【2024备考】【郑州期末23】【轴对称】【隐圆】【截长补短】

试题内容

解法分析-操作判断

正方形的判定

易证：∠A=∠ABE=∠BEF=90°，
∴四边形ABEF是矩形，
由折叠的性质得：EB=AB，
∴四边形ABEF是正方形.

解法分析-深入探究①

全等三角形+隐圆

根据SAS证明：△BEG≅△FEC，
∴∠1=∠2，
∴点B、E、M、F四点共圆(定弦定角)，
∴∠BME=∠BFE=45°.

解法分析-深入探究②

方法1：截长+全等三角形

在BM上截取BP=FM，连接EP，
∴MP=BM-BP=BM-FM.
根据SAS证明：△EBP≅△EFM，
∴EP=EM，
由(2)①得：∠BME=45°，
∴△MEP是等腰直角三角形，
∴MP=EM，
∴BM-FM=EM.

方法2：补短+全等三角形

延长FC至点P，使CP=GM，连接EP，
∵△BEG≅△FEC，
∴BG=FC，
∴BG+GM=FC+CP，即：BM=FP.
根据SAS证明：△ECP≅△EGM，
∴EP=EM，
由(2)①得：∠BME=45°，
∴∠P=45°，
∴△MEP是等腰直角三角形，
∴MP=EM，
∴FP-FM=EM，
∴BM-FM=EM.

解法分析-拓展应用

相似三角形

1.当点N在AD上时：
如左图：
设CE=GE=，则NF=-1，GF=3-.
∵AD∥BC，
∴△BEG∼△NFG，
∴=，即=，
解得：=-1.

如右图：
∵AD∥BC，
∴△NFM∼△BCM，
∴===.

2.当点N在CD上时：
如左图：
设CE=GE=，则GF=3-，NC=2.
∵EF∥CD，
∴△BEG∼△BCN，
∴=，即=，
解得：=.

如右图：
∵EF∥CD，
∴△GFM∼△NCM，
∴===.

综上所述：的值是或.