【2024备考】【特殊三角形】【中点问题】【手拉手(逆)】【坐标几何】

试题内容

解法指导

王文山

解法分析

方法1：借助中位线转化线段EF

延长PE至点G，使GE=PE，连接AG.
连接CG并延长，交AB的延长线于点H.
由中位线定理得：EF=AG，
∴“求EF的最小值”可转化为“求AG的最小值”.
易证：△CEP是等边三角形，
∴∠CEG=120°，CE=PE=GE，
进而证明：∠ECG=30°，∠H=90°，
∴BH=BC=2，
∴AH=6.
由“垂线段最短”得：
AG≥AH，即：AG≥6，
∴EF≥3，
∴EF的最小值为3.

方法2：手拉手(逆)

连接DF并延长，交AB于点Q，连接DE、QE.
根据AAS/ASA证明：△DFP≅QFA，
∴DP=AQ，DF=QF.
易证：BE=DP=AQ.
根据SAS证明：△DAQ≅△DBE，
∴DQ=DE，∠1=∠2，
∴∠QDE=∠2+∠QDB=∠1+∠QDB=60°，
∴△QDE是等边三角形，
∴EF=DE，
∴“求EF的最小值”可转化为“求DE的最小值”.
由“垂线段最短”得：
当DE⊥BC时，DE取得最小值，
∴DE=CD·sin60°=6，
∴EF=×6=3.

方法3：建系*

如图，以点C为原点，直线CD为轴，建立平面直角坐标系.
设点P的坐标为(2，0)，则点E的坐标为(，).
易求得：点A的坐标为(-6，-6)，
由中点坐标公式*得：
点F的坐标为(-3，-3)，
由两点间距离公式*得：
EF=(-3-)+(-3-)
=3+6+36
=3(+)+27，
∴EF=27，
∴EF=3.