【2024开封模拟23】【半角模型】

试题内容

解法分析(1)

正方形背景

∵△ADF≅△ABF'，
∴DF=BF'.
∵△AEF≅△AEF'，
∴EF=EF'.
∵EF'=BE+BF'，
∴EF=BE+DF.

解法分析(2)

等腰直角三角形背景

将△ADF绕点A顺时针旋转90°，得到△ABF'，连接EF'.
由旋转的性质得：△ABF'≅△ADF，∠FAF'=90°，AF'=AF，
∴BF'=DF，∠ABF'=∠ADF=45°.
进而证明：∠EBF'=90°，∠EAF'=∠EAF=45°.
根据SAS证明：△AEF'≅△AEF，
∴EF'=EF.
∵EF'=BE+BF'，
∴EF=BE+DF.

解法分析(3)

矩形背景→正方形背景

在AB上截取AM=3，在DC上截取DN=3，连接MN，交AE于点G，连接GF.
与(1)同理可证：GF=MG+DF.

1.当BE:CE=1:2时.
易证：△AMG∼△ABE，
∴=，即：=，
∴MG=，
∴NG=.
设DF=，则NF=3-，GF=+.
在Rt△FNG中，由勾股定理得：
(3-)+()=(+)，
解得：=.

2.当BE:CE=2:1时.
易证：△AMG∼△ABE，
∴=，即：=，
∴MG=，
∴NG=.
设DF=，则NF=3-，GF=+.
在Rt△FNG中，由勾股定理得：
(3-)+()=(+)，
解得：=1.

综上所述：DF的长为或1.

矩形背景→等腰直角三角形背景

在AB上截取AM=3，连接MD，交AE于点G，交AF于点H.
与(2)同理可证：GH=MG+DH.

1.当BE:CE=1:2时.
作GN⊥AB于点N.
设MN=GN=，则AN=3-，MG=，
∵tan∠BAE==，
解得：=，
∴MG=.
设DF=.
易证：△AMH∼△FDH，
∴DH=DM×=，
∴GH=DM-MG-DH=-，
∴(-)=()+()，
解得：=.

2.当BE:CE=2:1时.
作GN⊥AB于点N.
设MN=GN=，则AN=3-，MG=，
∵tan∠BAE==，
解得：=1，
∴MG=.
设DF=.
易证：△AMH∼△FDH，
∴DH=DM×=，
∴GH=DM-MG-DH=2-，
∴(2-)=()+()，
解得：=1.

综上所述：DF的长为或1.