2020.05.27
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这是刘老师的数学日记推送的第470篇文章
前面刚复习过表面积的变化规律问题，即主要通过观察和实际操作，探索多个相同正方体组合过程中表面积的变化规律，进一步发展动手操作能力和空间观念。
除了正方体拼搭过程中表面积发生变化，长方体也会发生。而现实生活中的“包装问题”和“分割”问题就和表面积的变化有关。
问题一 包装问题
例题：要将两盒相同的巧克力（长3分米，宽2分米、高1分米）用包装纸包装在一起。怎样包装才能使包装纸用的最少？（不计损耗和接缝）
有几种包装方法，取决于长方体的特征。一般长方体有3组不同的面，就有三种不同的拼法。
那到底哪一种拼法表面积最省？或者说拼完后的表面积如何计算呢？
方法一：利用拼后长方体公式计算
（1）将上下两个面重叠
（2）将左右两个面重叠
（3）将前后两个面重叠
所以，采用第一种包装用纸最少。
方法二：利用表面积变化去计算
由于这个长方体有三组不同的面，所以有三种不同的拼法。每一次拼后就会消失两个面。当然拼走的面越大，剩下的面积就越少。
所以利用原来2个长方体表面积之和—消失的两个面面积等于现在长方体的表面积。
方法三：利用长方体面的特点去计算
两个长方体应该有4个上下面，4个前后面，4个左右面。每种拼法都会消失两个面。
（1）上下面重叠：新组成的长方体就有2个原来长方体的上下面，4个前后面，4个左右面。
（2）左右面重叠：新组成的长方体就有4个原来长方体的上下面，4个前后面，2个左右面。
（3）前后面重叠：新组成的长方体就有4个原来长方体的上下面，2个前后面，4个左右面。
小结：两个长方体不管怎样重叠，每次都会减少两个面，重叠的面越大，拼成的长方体的表面积就越小；重叠的面越小，拼成的长方体的表面积就越大。
三种不同的计算方法，思考的方式是不同的。
那如果三个或更多这样的长方体包装，如何做到表面积最小？
显然在上面两个长方体拼的基础上再看第三个长方体的包装，容易想到把面积大的面重叠起来，这样包装最省。
但具体要算这样拼出的长方体的表面积，依然可以用上述的三种方法。
那如果是个“特殊”的长方体（有两个面是正方形），还是有三种拼法吗？
显然这里只有两种情况，因为此时长方体只有两种长方形的面。此时学生依然可以用刚才的三种思考方法之一求求它们的表面积。
所以不管是正方体、长方体，只要拼在一起，面有重叠，并且重叠的越多，表面积就会变小。比如这三个正方体拼成一个组合体，显然第2种的拼法表面积更小。
问题二 分割问题
从长方体中分割出一块以后的立体图形面积
例1：从一个棱长为8的正方体角上挖去一个长宽高分别为a、b、c的小长方体(a、b、c都小于8)，求所得新几何体的表面积。
解：表面积=8×8×6=384，表面积不变。
之前已经探究过挖走正方体的情况。除了从角上挖去以外，还可能是从棱上挖，或者从面上挖，另外挖的时候是否穿透，解题时需根据不同情况分别对待。
下面三幅图分别表示了未穿透的三种情况。
假设原来正方体的棱长都是8，挖去的都是2×3×4的小长方体。上述例题即图1所示，减少的面均得到弥补，所以表面积与未挖时一样。
图1 图2 图3
♛由图2可知，挖去后新几何体中有两组面弥补了原图形表面积，但还有一组面是多出来的，即ABFE和CDGH。因此，新几何体的表面积总体来说比原来正方体的总面积多两个 ABFE 的面积。
表面积 = 8×8×6+(2×3)×2=396
♛由图3可知，挖去后新几何体比原来正方体的总面积多出了上下左右四个面的面积。
表面积 = 8×8×6+(2×3)×2+(2×4)×2=412
那如果穿透呢？
如上图，分别从棱长为8的正方体角上、棱上、面上挖去一个2×4×8的长方体，求新几何体的表面积。
（1）由图1可知，新几何体的前后两个面比原来的正方体前后面共少了2个AEHD面，表面积 = 8×8×6－(2×4)×2=368。
（2）由图2可知，新几何体的前后两个面比原来的正方体前后面也是共少了2个AEHD面，而左右面共多了2个AEFB 面。表面积 = 8×8×6-(2×4)×2+(2×8)×2=400。
（3）由图3可知，新几何体的前后两个面比原来的正方体前后面也是共少了2个AEHD面，而左右面共多了2个AEFB面，上下面也多了2个EHGF面。
表面积= 8×8×6-（2×4）×2 +（2×8）×2 +（4×8）×2 = 464.
关于表面积变化的问题有很多。不管是上面的包装问题，还是切割问题，只要清楚地知道面是如何变化的，就不难理解。当然借助于学具的演示，更容易发现变化的情况。
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