2020.07.05
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同学们，我们今天开始数学思维训练的第六讲“巧数长方体、正方体个数”。“数图形”在小学数学思维训练中比较常见，这里将主要讨论数长方体、正方体的方法。由于正方体、长方体是立体图形，占有一定的空间，在数它们的时候，一些看不到的地方需要一定的空间想象能力。当然还需要掌握一定的方法。
数线段、数长方形的方法在第二、三讲中已经提到过。这里再把三者之间的方法联系起来，发现它们之间的奥秘！
问题：下图中一共有几个长方体？
疑问：
（1）这么多，一个一个数怎么数的完？
（2）那就先数最小的“基本图形”：小长方体。4×6×3=72（个）长方体……。这样数起来还是挺烦，一共有多少个？
（3）不管怎样数，都要做到不重复不遗漏。有更好的办法吗？
方法：10×21×6=1260（个）长方体。看似很简单，可为什么这样呢？
联系：我们用联系的眼光看数学问题。
1.先看看如何数线段。
数线段的方法也不止一种。我们可以用“基本线段”的方法数。
根据上述方法，可以列式：4+3+2+1=10（条）。
当然线段总数=端点个数×基本线段个数÷2。也就是5×4÷2=10（条）。
2.再看看如何数长方形。
这个图形中一共有多少个长方形？当然受“数线段”方法的启示，可以先说“基本长方形”，然后再不重复不遗漏数完整。
基本长方形：12个
含有2个长方形的个数：17个
含有3个长方形的个数：10个
含有4个长方形的个数：9个
含有6个长方形的个数：7个
含有8个长方形的个数：2个
含有9个长方形的个数：2个
含有12个长方形的个数：1个
最后，一共有60个长方形。
但是这样会比较复杂。长方形显然和长、宽有关系。所以，我们先看看长、宽上各有多少条线段。
长这条边的线段数：4+3+2+1=10（条）
宽这条边的线段数：3+2+1=6（条）
长方形的个数=长边上线段数×宽边上线段数
长方形的个数=10×6=60（个）
那为什么可以用这个方法？一起看看！
这个就是一个组合中的乘法原理。一长条有10个长方形，而沿着宽看可以分为6组，也就是6个10。
3.现在看看如何数长方体
长方体是由长、宽、高三个因素决定的。所以由数长方形的方法类比可以得出类似的结论。
长方体的个数=长上线段个数×宽上线段个数×高上线段个数。
长边线段数：4+3+2+1=10（个）
宽边线段数：6+5+4+3+2+1=21（个）
高边线段数：3+2+1=6（个）
长方体个数：10×21×6=1260（个）
4、类比数长方形个数与数长方体个数
那正方体该如何数呢？
是3×3×3=27个吗？是6×6×6=216个吗？显然都不是的。那一起先复习一下正方形个数的方法。
由于正方体的特殊性、长、宽、高都一样。要解决这个问题，我们可以分类统计，即分别数出棱长1，2和3的正方体的个数，再求出总和。类比与求正方形个数。
总之，计数几何图形时，一定要分类计数，有序思考！
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