2020.10.18
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六
最近，学校的老师们一直在上组内研讨课。大家在选择自己上的组内课时，都是一种带着思考和研讨的角度去选择。有些课资料少，备起来不方便；有些课学生不容易说清楚；有些课操作起来很费时等。这些课我们的老师并没有“抛弃”它们，而是勇敢地用自己的想法去尝试、思考和实践。这里或许不够精彩，不够成熟；但足够真心、勇敢！
二年级组傅老师选择上《被除数为0的除法》，这也是一节看似简单却不容易上的课。0可以作为被除数，除以任何非零数商为0。但这里为什么是非零数？0为什么不可以作为除法？
以前，老师可能以告知的方式告诉学生，0不能作为除数，0作为除数没有意义。或者，会以数学规定的方式要求学生记住。
虽然二年级的学生不可能完全理解，但学生的确有这样的疑问，0为什么不能作为除数呢？（其实和分母不能为0道理一样）。数学是讲道理的，就这个问题，老师可能也不够清楚，通过这次机会正好得到研讨和交流。
在前面的学习中，通过实际操作已初步理解除法含义。书本中既有包含除也有平均分的例子全面认识除法。前一节用乘法口也初步认识除法是乘法的逆运算。知道求除数的商就是求相应乘法算式中的含义。
为了解决这个问题，在课堂中也进行了一些尝试：
1.平均分糖
通过教师准备的“魔盒”和糖，在分糖的情境中让学生平均分。学生动手去分，每分一次都要除法算式表示分的过程和结果。
（1）当盒子有12粒糖，平均分给4人，每人能分到几粒？
12÷4=3（粒）
12、4、3的含义是什么？
3是怎么来的？除刚才分的结果；还可以用“因为3×4=12；所以12÷4=3”
12÷4=3← 3×4=12
（2）当盒子有4粒糖，平均分给4人，每人能分到几粒？
4÷4=1（粒）
4、4、1的含义是什么？
1是怎么来的？除刚才分的结果；还可以用“因为1×4=4；所以4÷4=1”
4÷4=1← 1×4=4
（3）当盒子有没有糖，平均分给4人，每人能分到几粒？
此时，学生还在有模有样的分，当然只有分的动作，学生手中的糖当然是没有的。此时问学生算式该如何列，从实际分的结果可以得到0。
0÷4=0（粒）
0÷4=0← 0×4=0
在这个过程中，学生经历行为阶段、图阶段和符号语言阶段。学生在实际操作中初步理解被除数为0的除法的实际含义。被除数都是糖的总数，除数是人数，商是每人发到的糖数。
这里是通过平均分的实际意义以及乘法和除法运算关系两种方法得到商。
2.观察归纳
在引导学生观察这组式子后，学生发现除数不变，被除数变小，商也变小。直到被除数为0，其商也就为0。引导学生发现0÷4=0（粒）的特殊地方。
从具体到抽象，学生独立完成：
0÷5= 0÷6=
0÷7= 0÷8=
引导学生观察这些除法算式，进而揭题：被除数为0的除法。学生可以通过联系实际，也能知道每人发到的糖都是0。
此时，老师让学生自己编一个类似特征的算式。从特殊推广到一般，学生能够共同得出结论：
0除以任何数，商都是0。
3.辨析说理
此时，老师让学生自学书本结论，发现书本结论和刚才大家得出结论的相同和不同之处。
“0除以任何数，商都是0”
“0除以不是零的数，商都是0”
不同就在于除数上的说法不一样。书本中的说法就是除数不能为0。进而引导学生探究除数为什么不能为0。
那以4÷0为例，4÷0=？
有学生还是挺疑惑0不能作为除数，有学生认为是4；有人认为是0……于是，引导学生用实例解释。
既可以用包含除也可以用平均分的例子，例如，4颗糖装袋，每袋装0个，能装几袋？这个是没有意义的。
4颗糖平均分给0个小朋友，每人分到几个？每人会分到4个吗？还是0个？既然没有人，实际上没有“分”，自然不能用除法。
除此之外，利用之前的经验。还可以根据除法是乘法逆运算的方法加以验证思考。
4÷0=4← 4×0=4显然是不可能成立；
4÷0=0← 0×0=4显然也是不可能成立；
4÷0=？← ？×0=4不可能成立，因为0乘任何数都等于0。
通过这样的两种解释，学生对于除数不能等于0有个初步的理解。所以书本中的结论是正确的，并把原先自己得出的结论加以修改。也可以渗透数学结论中0这个特殊数要注意考虑。
作为老师，如果0作除数，有两种情况：
①当a≠0；a÷0=？没有意义。根据除法是乘法的逆运算，0×？=a，但因0乘任何数结果为0，不可能为a，所以除数不能为0。
②当a=0；0÷0=？没有意义。
有同学会说结果是0；因为0×0=0；所0÷0=0。
可是0×1=0；0×2=0……；那么0÷0还可以等于1、2……这便意味着“0÷0”的答案有无数个。
“12÷4”是“3”，正因为答案只有唯一一个，它作为除法才有了意义。这并不仅限于除法当中，可以说所有的计算都是如此。
“3+5” “6-4” “8-3” 中不管哪一个的答案都只有一个。然而“a÷0”的计算答案并不是唯一的。
这正是“0不能作为除数”的原因。这种现象在数学中被称为“无法定义的计算”，表示为下面方框中的内容。
即“a÷0”是无法被定义的！
虽然学生不需要完全明白这么具体的数学知识。但这节课中适当地引导学生去理解“除数不为0”是有道理的。
有时候，孩子的疑问并不需要严密的解释，而只要给出合理的理由消除其认知失衡即可。基于学生需求的视角去设计和思考，应该是追求的方向。
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