矩阵特征值的QR算法的网上实验开发

问题描述：

    矩阵计算是科学与工程计算的核心，大部分科学与工程问题都要归结为一个矩阵计算问题，而矩阵特征值问题则是当今计算数学和科学与工程计算研究领域的重大课题。 

算法原理：

1 矩阵的Hessenberg化

    为了减少计算量，通常先经Householder变换或Givens变换将实对称矩阵 化为一个Hessenberg矩阵。其形式如下：

 

    2 矩阵的QR分解

    把矩阵 分解成一个正交矩阵 和一个上三角矩阵 的乘积，称为矩阵 的正交三角分解，简称QR分解。

3 基本QR方法

记 ，对 作QR分解

令

然后对 作QR分解

再令

一般地，设已得到 ，则对 作QR分解

令

这样，可得到一个矩阵序列

由此可得

因此矩阵 和 相似。于是，矩阵序列 中的每一个矩阵都与原矩阵 相似，从而它们的特征值都相同。可以证明，在一定条件下， 的主对角线以下的元素当 时，都趋于零。因此，当 足够大时，可把 的主对角线元作为矩阵 的特征值的近似值。

基本QR方法的迭代公式如下：

    4 带双步位移的QR方法

    为了加速收敛，对基本QR方法进行改进，改进为下面的带双步位移的QR方法：

 

其中 ， 是一对实数，称为位移量，选取 右下角二阶子式

的两个特征值。

 

---

 

Applet使用方法：

下面的Applet就是用于实现该算法的可视化的。

界面中的几个编辑框用于用户输入的相应的变量，方阵阶数N请输入一个整数，下面的编辑框请输入一个实对称矩阵,元素间用一个空格隔开(程序运行时，编辑框中都赋了初始值，用户可以直接用这组值进行实验)，选择化Hessenberg矩阵的方法－－"Givens"或"Householder"；当相关输入完成后，选择按钮"OK"，就可得到相应结果。

• 最后的思考问题：

    1、上面的实验是以实对称矩阵为基础的，请读者思考对于一般矩阵来说应如何改进实验。

    2、请读者对该实验进行拓展以用于解决一类相似问题。