众所周知，尺规作图要求只能用没有刻度直尺、圆规。用没有刻度的直尺与圆规可以做出许多种图形，但有些图形很难画不出来。数学几何作图发展史上有三大问题看似简单，但真正做出来却非常困难，这三大问题被称为最有名几何作图三大问题。三大几何问题分别是是:
1、化圆为方：求作一正方形使其面积等于一已知圆
化圆为方是古希腊尺规作图问题之一，即：求一正方形，其面积等于一给定圆的面积。由π为超越数可知，该问题仅用直尺和圆规是无法完成的。
圆与正方形都是常见的几何图形，但如何作一个正方形和已知圆等面积呢？若已知圆的半径为1则其面积为π(1)2=π，所以化圆为方的问题等於去求一正方形其面积为π，也就是用尺规做出长度为π1/2的线段（或者是π的线段）。
2、三等分任意角；
三等分角是古希腊几何尺规作图当中的名题，和化圆为方、倍立方问题被并列为古代数学的三大难题之一，而如今数学上已证实了这个问题无解。该问题的完整叙述为：在只用圆规及一把没有刻度的直尺将一个给定角三等分。在尺规作图（尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图）的前提下，此题无解。
对于某些角如90度、180度三等分并不难，但是否所有角都可以三等分呢？例如60度，若能三等分则可以做出20度的角，那么正18边形及正九边形也都可以做出来了（注：圆内接一正十八边形每一边所对的圆周角为360度/18=20度）。其实三等分角的问题是由求作正多边形这一类问题所引起来的。
若将条件放宽，例如允许使用有刻度的直尺，或者可以配合其他曲线使用，可以将一给定角分为三等分。
3、倍立方：求作一立方体使其体积是一已知立方体的二倍。
传说中，这问题的来源，可追溯到公元前429年，一场瘟疫袭击了希腊提洛岛(Delos)，造成四分之一的人口死亡。岛民们推派一些代表去神庙请示阿波罗的旨意，神指示说：要想遏止瘟疫，得将阿波罗神殿中那正立方的祭坛加大一倍。人们便把每边增长一倍，结果体积当然就变成了8倍，瘟疫依旧蔓延；接着人们又试着把体积改成原来的2倍，但形状却变为一个长方体……有人主张将每边长加倍，但我们都知道那是错误的，因为体积已经变成原来的8倍。
这些问题困扰数学家一千多年都不得其解，而实际上这三大问题都不可能用直尺圆规经有限步骤可解决的。尺规作图三大难题提出后，有许多基于平面几何的论证和尝试，但在十九世纪以前，一直没有完整的解答。没有人能够给出化圆为方问题的解法，但开始怀疑其可能性的人之中，也没有人能够证明这样的解法一定不存在。直到十九世纪后，伽罗瓦和阿贝尔开创了以群论来讨论有理系数多项式方程之解的方法，人们才认识到这三个问题的本质 。
1637年笛卡儿创建解析几何以後，许多几何问题都可以转化为代数问题来研究。1837年旺策尔给出三等分任一角及倍立方不可能用尺规作图的证明。1882年林得曼也证明了π的超越性（即π不为任何整数系数多次式的根），化圆为方的不可能性也得以确立。
联系客服
