复化梯形公式、复化辛卜生公式

　　一、复化梯形公式及其余项 
　　在区间 

 不大时,用梯形公式、辛卜生公式计算定积分是简单实用的,但当区间 

 _较大时, 用梯形公式、辛卜生公式计算定积分达不到精确度要求. 为了提高计算的精确度，我们将 [a,b] 区间n等分，在每个小区间上应用梯形公式、辛卜生公式计算定积分, 然后将其结果相加，这样就得到了复化梯形公式和复化辛卜生公式。
　　1. 复化梯形公式 
　　将积分区间 

 

 等分,设 

 , 则节点为 

 
　　对每个小区间上应用梯形公式, 然后将其结果相加，则得
　　

(3.14)
　　称(3.14)式为复化梯形公式.
　　当 

 在[a,b]上有连续的二阶导数时，则复化梯形公式(3.14)的余项推导如下：
　　因为
　　

   
　　所以在区间[a,b]上公式(3.14)的误差为
　　

 
　　又因为 

 在区间[a,b]上连续，由连续函数的性质知，在区间[a,b]上存在一点 

 ，
　　

 
　　于是
　　

  （3.15）
　　称(3.15)式为复化梯形公式的余项。

　　例1   用复化梯形公式计算得
　　

 
　　使误差小于 

 
　　解

 和公式(3.15), 解不等式
　　

 
　　得         

 
　　即 

 时，用复化梯形公式计算可达到精度要求，则取 

 ,用公式（3.14）计算得
　　

 
　　而积分的准确值