(2016·郑州校级模拟)已知:如图,AB=BC,∠ABC=90°,以AB为直径的⊙O交OC于点D,AD的延长线交BC于点E,过D作⊙O的切线交BC于点F.下列结论:①CD2=CE·CB;②4EF2=
(2016·郑州校级模拟)已知:如图,AB=BC,∠ABC=90°,以AB为直径的⊙O交OC于点D,AD的延长线交BC于点E,过D作⊙O的切线交BC于点F.下列结论:①CD
2=CE·CB;②4EF
2=ED·EA;③∠OCB=∠EAB;④DF=
CD.其中正确的结论有
①②④
.
【专题】压轴题.
【分析】先连接BD,利用相似三角形的判定以及切线的性质定理得出DF=FB,进而分别得出△CDE∽△CBD以及△CDF∽△CBO,再根据相似三角形的性质分别分析即可得出答案.
【解答】解:①连接BD,
∵AB为直径,
∴∠ADB=90°,
∴∠DBE+∠3=90°,
∵∠ABC=90°,
∴∠1+∠DBE=90°,
∴∠1=∠3,
又∵DO=BO,
∴∠1=∠2,
∴∠2=∠3,
∴∠CDB=∠CED,
∵∠DCB=∠ECD,
∴△CDE∽△CBD,
∴CD
2=CE·CB,故①CD
2=CE·CB正确;
②∵过D作⊙O的切线交BC于点F,
∴FD是⊙O的切线,
∵∠ABC=90°,
∴CB是⊙O的切线,
∴FB=DF,
∴∠FDB=∠FBD,
∴∠1=∠FDE,
∴∠FDE=∠3,
∴DF=EF,
∴EF=FB,
∴EB=2EF,
∵在Rt△ABE中,BD⊥AE,
∴EB
2=ED·EA,
∴4EF
2=ED·EA,故②4EF
2=ED·EA正确;
③∵AO=DO,
∴∠OAD=∠ADO,
假设③∠OCB=∠EAB成立,
则∠OCB=
∠COB,
∴∠OCB=30°,
而
=
=
,与tan30°=
矛盾,
故③∠OCB=∠EAB不成立,故此选项错误;
④∵∠CDF=∠CBO=90°,
∠DCF=∠OCB,
∴△CDF∽△CBO,
∴
=
,
∴
=
,
∵AB=BC,
∴
=
=
,
∴DF=
CD;故④DF=
CD正确.
综上正确的有①、②、④.
故答案为:①②④.
【点评】此题主要考查了圆的切线性质与判定、圆周角定理性质及三角形相似的判定等知识,熟练根据相似三角形的性质得出对应边之间关系是解题关键.
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