插值问题的提法是:假定区间[a,b]上的实值函数f(x)在该区间上 n+1个互不相同点x0,x1……xn 处的值是f (x0),……f(xn),要求估算f(x)在[a,b]中某点x*的值。基本思路是,找到一个函数P(x),在x0,x1……xn 的节点上与f(x)函数值相同(有时,甚至一阶导数值也相同),用P(x*)的值作为函数f(x*)的近似。
其通常的做法是:在事先选定的一个由简单函数构成的有n+1个参数C0,C1,……Cn的函数类Φ(C0,C1,……Cn)中求出满足条件P(xi)=f(xi)(i=0,1,…… n)的函数P(x),并以P()作为f()的估值。此处f(x)称为被插值函数,x0,x1,……xn称为插值结(节)点,Φ(C0,C1,……Cn)称为插值函数类,上面等式称为插值条件,Φ(C0,……Cn)中满足上式的函数称为插值函数,R(x)= f(x)-P(x)称为插值余项。当估算点属于包含x0,x1……xn的最小闭区间时,相应的插值称为内插,否则称为外插。
这是最常见的一种函数插值。在一般插值问题中,若选取Φ为n次多项式类,由插值条件可以唯一确定一个n次插值多项式满足上述条件。从几何上看可以理解为:已知平面上n+1个不同点,要寻找一条n次多项式曲线通过这些点。插值多项式一般有两种常见的表达形式,一个是拉格朗日插值多项式,另一个是牛顿插值多项式。
对于函数f(x),常常不仅知道它在一些点的函数值,而且还知道它在这些点的导数值。这时的插值函数P(x),自然不仅要求在这些点等于f(x)的函数值,而且要求P(x)的导数在这些点也等于f(x)的导数值。这就是埃尔米特插值问题,也称带导数的插值问题。从几何上看,这种插值要寻求的多项式曲线不仅要通过平面上的已知点组,而且在这些点(或者其中一部分)与原曲线"密切",即它们有相同的斜率。可见埃尔米特插值多项式比起一般多项式插值有较高的光滑逼近要求。
分段插值与样条插值
为了避免高次插值可能出现的大幅度波动现象,在实际应用中通常采用分段低次插值来提高近似程度,比如可用分段线性插值或分段三次埃尔米特插值来逼近已知函数,但它们的总体光滑性较差。为了克服这一缺点,一种全局化的分段插值方法--三次样条插值成为比较理想的工具。见样条函数。
matlab中使用插值函数
插值函数(the function of interpolation )
interp1
调用函数的格式(Syntax)
yi = interp1(x,Y,xi)
yi = interp1(Y,xi)
yi = interp1(x,Y,xi,method)
yi = interp1(x,Y,xi,method,'extrap')
yi = interp1(x,Y,xi,method,extrapval)
pp = interp1(x,Y,method,'pp')
调用格式说明(Description)
yi = interp1(x,Y,xi) 返回矢量X和Y决定的根据输入的节点xi时对应的y的值.矢量Y是矢量X的一个函数映射.
如果Y是一个矩阵,那么插值结果是一个对应的矩阵.
[===================================================
yi = interp1(x,Y,xi) returns vector yi containing elements corresponding to the elements of xi and determined by interpolation within vectors x and Y. The vector x specifies the points at which the data Y is given. If Y is a matrix, then the interpolation is performed for each column of Y and yi is length(xi)-by-size(Y,2).
===================================================]
yi = interp1(x,Y,xi,method)插值中可以使用的方法:
插值方法 | 说明 |
nearest | 临近的两点插值 |
linear | 线性插值(默认) |
spline | 三次样条插值 |
pchip | 分段三次Hermite插值多项式插值 |
cubic | (作用于pchip相同) |
v5cubic | 用matlab5版本中断三次样条插值 |
[====================================================
yi = interp1(x,Y,xi,method) interpolates using alternative methods:
methodDescription
nearestNearest neighbor interpolation
linearLinear interpolation (default)
splinesplineCubic spline interpolation
pchipPiecewise cubic Hermite interpolation
cubic(Same as 'pchip')
v5cubicCubic interpolation used in MATLAB 5
======================================================]
简单程序示例
>>x=[0.0 0.1 0.195 0.3 0.401 0.5];
>>y=[0.39849 0.39695 0.39142 0.38138 0.36812 0.35206];
>>plot(x,y);
>>T=interp1(x,y,.25,'linear') %线性插值
(返回结果T=0.3862)
>> T=interp1(x,y,.25,'nearest') % 两点插值
(返回结果T=0.3814)
>>T=interp1(x,y,.25,'spline') % 三次样条插值
(返回结果T =0.3867)
>>T=interp1(x,y,.25,'cubic') %三次插值
(返回结果T =0.3867)
联系客服