【新增解法】正方形与角平分线问题

由于昨天只呈现了几种简单的解法，很多人觉得不过瘾，所以继续呈上部分解法，欢迎点评讨论！

【典型问题】

已知P为正方形ABCD的边BC上一点，AE平分∠DAP交DC于E，求证：DE＝AP－BP．

【分析】本题的重要条件是角平分线，其次结论是线段和差的问题，因此都可以有比较好的辅助线添加方法，本题方法多样，下面列举几种，欢迎大家讨论，继续提供更多样的解法，期待您的参与

【解题过程】

证法六：过点E作EF⊥AP于点F，交AB的延长线于点G，

易得DE=EF，AD=AF，

通过证明△ABP≌△AFG（ASA），

即可得BP=FG，

由EF⊥AP，易得EG=AP（构造直角三角形用全等证明）

所以AP=EG=EF+FG=AE+BP，所以DE＝AP－BP

证法五：过点B作BF⊥AE于点G，分别交AP，AD于点H，F，

易得△BAF≌△ADE，得DE=AF，

易证∠AFH=∠AHF＝∠PHB=∠PBH，

所以DE=AF=AH，PB=PH，

所以DE＝AP－BP

证法四：过点D作DF⊥AF于F，分别交AP，BC于点G，H，

易得△ADE≌△DCH，得DE=CH，

易得∠ADG=∠AGD=∠PGH=∠PHG，

所以AD=AG，PG=PH，

所以AP=AG+PG=BC+PH=CH+BP+PH=DE+BP，

所以DE＝AP－BP

证法三：延长AD到F使得AF＝AP，

过点P作PG∥AB交AD于点G，

连接PF交AE于点H

易得PF⊥AE，得∠F=∠AED，

再证明△ADE≌△PGF，

可得AP＝AF＝AG+GF＝BP＋DE，

所以DE＝AP－BP

证法二：延长CB到F，使得BF=DE，并连接AF，

易证△ADE≌△ABF，再证∠PAF＝∠F＝90°－∠BAF，

得AP＝PF，即可得到AP=PF=BF+ BP= BP +DE，

所以DE＝AP－BP

证法一：延长CD到F，使得DF=BP，并连接AF，

易证△ADF≌△ABP，

易得∠FAE=∠FAD+∠DAE＝∠PAB+∠PAE=∠BAE＝∠FEA，

得FA＝FE，

所以AP=AF=FE=DF+DE=BP+DE，所以DE＝AP－BP

还有哪些方法呢？