一、利用平移构造
例1：如图，⊙P内含于⊙O，⊙O的弦切⊙P于点C，且AB∥OP．若阴影部分的面积为9π，则弦的长为（ ）
A．3
B．4
C．6
D．9
思路点拨：两圆内含，阴影部分的面积为9π，如果将⊙P向左平移，与⊙O构造同心圆，此时阴影部分的图形为环形（如图2），则此时△COB已构造成直角
三角形。
解析：环形的面积为
则弦AB=2BC=6；故此题选C。
点评：通过对小圆的左移，构造出两圆为同心圆的特殊位置，并进而形成了一个圆环的阴影部分，由切线的性质并进而构造出圆的垂径定理、勾股定理等需要知识。
二、利用翻折构造
例2：如图，⊙O的半径为2，C1是函数y=1/2x²的图象，C2是函数y=－1/2x²的图象，则阴影部分的面积是_____。
思路点拨：图中阴影部分是由三种不规则的图形的构成，通过观察发现，如果借助翻折变换的数学思想方法，便可将x轴下方的阴影部分翻折上去，与另两部分阴影刚好构造成半圆形，此时的阴影部分面积刚好半圆形的面积，此题便可快速解决。
解析：阴影部分的面积为半圆形的面积是
点评：翻折问题的实质是轴对称变换，把握翻折的两部分是全等图形、重合图形，通过翻折，将非特殊图形转化为特殊图形（半圆形），解题的关键是面积的割补及转化的数学思想方法。
三、利用旋转构造
例3：（1）如图1，圆内接△ABC中，AB=BC=CA，OD、OE为⊙O的半径，OD⊥BC于点F，OE⊥AC于点G. 求证：阴影部分四边形OFCG的面积是△ABC面积的1/3。
（2）如图2，若∠DOE保持120º角度不变.
求证：当∠DOE绕着O点旋转时，由两条半径和△ABC的两条边围成的图形（图中阴影部分）面积始终是△ABC面积的1/3.
思路点拨：如图，连OA，OC，则由于∠DOE=∠AOC=120º，也就是△FOC绕O点逆时针旋转120º得到△EOA，此时阴影部分的面积为△AOC的面积，而△AOC的面积是整个三角形△ABC的面积的三分之一。
解析：（１）证明：过点O作OH⊥AB于点H.
∵等边△ABC是⊙O的内接三角形，
OD⊥BC ，OH⊥AB，OE⊥AC
∴∠B=∠C=60°，
∠BHO=∠BFO=∠CFO=∠CGO=90°，
BH=BF=CF=CG，OH=OF=OG ∴∠FOH=∠FOG=180°-60°=120°，
∴四边形ＢＤＯＨ≌四边形ＣＦＯＧ
同理：四边形ＢＤＯＨ≌四边形ＡＨＯＧ
∴四边形ＢＤＯＨ≌四边形ＣＦＯＧ≌四边形ＡＨＯＧ
（２）证明：过圆心Ｏ分别作ＯＭ⊥ＢＣ，ＯＮ⊥ＡＣ，垂足为Ｍ、Ｎ.
则有∠OMF=∠ONG=90°，
OM=ON，∠MON=∠FOG=120°
∴∠MON-∠FON=∠FOG-∠FON，
即∠MOF=∠NOG
∴△MOF≌△NOG，
∴若∠DOE保持120°角度不变，当∠DOE绕着O点旋转时，由两条半径和△ABC的两条边围成的图形（图中阴影部分）面积始终是△ABC的面积的1/3。
点评：旋转变换是将已知图形（或其中一部分）绕一点进行旋转，构造出新的图形，进而揭示条件和结论之间的内在联系，找到解题的途径。由特殊到一般是我们常用的一种数学思考方法，本题的关键在于充分利用旋转变换和面积的割补法来完成。
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