用简便的方法，解2021年广东中考数学压轴题，题型较新颖

这是今年，2021年广东省中考数学的压轴题：

已知二次函数y=ax^2+bx+c的图象过点(-1,0), 且对任意实数x,都有4x-12≤ax^2+bx+c≤2x^2-8x+6.

(1)求该二次函数的解析式；

(2)若(1)中二次函数图象与x轴的正半轴交点为A,与y轴交点为C; 点M是(1)中二次函数图象上的动点.问在x轴上是否存在点N, 使得以A,C,M,N为顶点的四边形是平行四边形.若存在,求出所有满足条件的点N的坐标;若不存在, 说明理由.

分析：(1)最简单的一步是将点(-1,0)代入解析式，列得一个三元一次方程；

又当4x-12=2x^2-8x+6时，必有ax^2+bx+c=4x-12，求得x=3，代入上式，又可以列得一个三元一次方程；

又因为ax^2+bx+c=4x-12有唯一解，即直线与抛物线相切，因此可以由判定式列得第三个三元方程。

最后由前两个三元方程，求出b,c与a的关系，再代入第三个三元方程，就可以解得a，从而解得三个参数的值。

解：(1)将(-1,0)代入y=ax^2+bx+c得：a-b+c=0 (1)

当4x-12=2x^2-8x+6时, 解得x=3,

又当x=3时, 4x-12=0, ∴9a+3b+c=0 (2)

由(2)-(1)得, 8a+4b=0, ∴b=-2a, 代入(1)得c=-3a,

依题意, 方程4x-12=ax^2+bx+c有唯一解,

∴△=(b-4)^2-4a(c+12)=0,

∴(-2a-4)^2-4a(-3a+12)=0,

解得a=1, b=-2, c=-3,

∴二次函数解析式为：y=x^2-2x-3.

分析：(2)先设M，N的坐标，写出A，C的坐标。必须自己作出图象，然后分情况讨论。

当AC是对角线时，有一种可能；当AC是边是有三种可能。

这里要利用平行四边形的性质，结合几何法，如果直接求线段的距离，运用两点的距离公式，有可能出现高次方程。所以有些地方需要做灵活变通。

解：(2)或设M(m, m^2-2m-3), N(n,0),

如图,连接AC, A(3,0), C(0,-3),

若AC是对角线, 由CM//AN可得M(2,-3), (这里省略掉一些运算过程)

由NA=CM可得：3-n=2, 解得n=1，(结合图象理解,注意N点在A点左侧)

即N(1,0)满足条件;

若AC是边, (则包含三种可能)

当M点在第四象限时, 仍有M(2,-3),

由AN=CM可得：n-3=2, 解得：n=5.(结合图象理解,注意N点在A点右侧)

即N(5,0)满足条件; (M点不能在第三象限)

当M点在x轴上方时, m^2-2m-3=3, (即M，C到x轴的距离相等)

解得m1=1+√7, m2=1-√7,

n=m1-3= -2+√7或n=m2-3= -2-√7,（根据M,N的水平距离等于A，C的水平距离，同时得到最后一种情形的N点）,

综上, 满足的N点有(1,0),(5,0)和(-2±√7,0).