数学之美：数的极值之两大经典题型

生活中，人们都热衷于追求“事半功倍”的效果，以不断提高我们学习、工作、生活的效率和质量，这在数学中就体现了数学上的“极值”问题——最多、最少、最大、最小、最长、最短等等。

极值问题涉及知识面广，题型灵活多样。因此，解题时要善于善用所学知识，甚至生活常识。由于没有统一的方法，所以针对不同题型需要采取不同的策略，一般来说，主要有以下几个突破口：

（1）采用枚举法进行比较，确定最值；

（2）通过估算并构造出具体的对象，确定最值；

（3）从最不利或最有利的情况出发，通过分析和推理确定最值。

题型一：数字可以重复

数字可以重复，数字和一定，没有最大数；求数最小，则数位越少，数字9越多越好。 排列时，按照从小到大。

例：如果自然数N的各个数位上的数字和是2003，那么N的最小值是多少？

解题步骤：

2003÷9=222……5

数字为59……9（222个9）

答：N的最小值是59……9（222个9）。

题型二：数字不能重复

各数位上的数字之和一定，且数字不能重复，求最小数，先按照从大到小的顺序选择数字，再按照从小到大的顺序排列数字。

各位数上的数字之和一定，且数字不能重复，求最大数，先按照从小到大的顺序选择数字，再按照从大到小的顺序排列数字。

例1：一个自然数，各数位上的数字之和是40，而且各位数字都不相同，符合条件的最小数是多少？

解题步骤：

40=9+8+7+6+5+4+1

最小数为1456789

答：符合条件的最小数是1456789。

例2：一个自然数，各数位上的数字之和是32，而且各位数字都不相同，符合条件的最大数是多少？

解题步骤：

32=0+1+2+3+4+5+6+7+4（再把4分给7和6）

最大数为98543210

答：符合条件的最大数是98543210。