特殊三角形和特殊四边形的存在性问题，其实就是一个计算问题

上一篇文章详细讲解了特殊三角形和特殊四边形的存在性问题，睡了一觉，发现有一个点并没有讲透，今天借助这篇文章再把这个问题补充讲一下。

如果你看懂了，会瞬间觉得这种题型就是小儿科，A piece of cake.

上一篇文章在转化的侧重点上略有不同，导致在探究菱形和矩形的存在性问题时，把问题复杂化了。

探究菱形的存在性问题时，把菱形转化为等腰三角形来探究；探究矩形的存在性问题时，把矩形转化为直角三角形来探究。这是上一篇文章的思路。

用到的判定定理是：

邻边相等且对角线互相平分的四边形是菱形。

有一个角是直角且对角线互相平分的四边形是矩形。

我想，为什么不直接一点呢？菱形、矩形这么多判定定理，为什么不选择最直接的判定定理来转化呢？

其实距离公式跟线段相等形影不离，中点坐标公式跟对角线互相平分形影不离。

有了这种转化思维，特殊三角形和特殊四边形存在性问题彻底转化为计算问题。

首先学会抽离问题，把需要的顶点全部抽离出来，已知的点当然很好，如果某些点在直线上、在抛物线上不确定，大胆设未知数，把点表示出来。需要的点表示出来了，就开始分类讨论。

等腰三角形，以顶角的顶点分类讨论，使用距离公式建立方程。

直角三角形，以直角的顶点分类讨论，可以借助距离公式，使用勾股定理的逆定理建立方程；也可以通过直角边所在直线的斜率之积互为负倒数建立方程。

等腰直角三角形，以直角的顶点分类讨论，是上方两种情况的综合，建立方程组。

平行四边形，以对角线分类讨论，我们知道对角线互相平分的四边形是平行四边形，使用中点坐标公式建立方程组。

菱形，以对角线分类讨论，我们知道对角线互相垂直平分的四边形是菱形，使用中点坐标公式、互相垂直的直线斜率之积互为负倒数，建立方程组。

矩形，以对角线分类讨论，我们知道对角线互相平分且相等的四边形是矩形，使用中点坐标公式和距离公式，建立方程组。

正方形，以对角线分类讨论，我们知道对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，使用中点坐标公式、互相垂直的直线斜率之积互为负倒数和距离公式，建立方程组。

哇~，我讲完了，是不是非常通透，完全把这种题型转化为了计算题，会解方程或方程组就完全OK.

很多学生看到二元方程组或者三元方程组，会有畏难情绪，其实在计算时也是有技巧的。

接下来就拿2023年重庆中考数学真题A卷的第25题第(3)问来举例，让你学会计算处理技巧，快速求解三元方程组。

抽离出需要的点A、P、M、N，分别如下：

然后以对角线为分类讨论依据，分为以下三种情况：

①AP与MN互相垂直平分

②AM与PN互相垂直平分

③AN与PM互相垂直平分

在上图中，列方程组时，你看到第一个方程组非常繁琐，其实只需要稍微化简处理一下就可以得到右侧的方程组，此时不要盲目求解。

要有针对性的观察方程组，我们的目标是求点N的坐标，那么就想办法消m,就把三元方程组变成关于n,t的二元方程组，接下来的求解就变得异常容易了。

一样的思路，消元要有针对性，我们并不需要求点M的坐标，所以果断消m。得到的二元方程组。把n的值代入第一个方程，然后使用平方差公式，直接开平方法即可求出t的值，整个运算过程运算量并不大。

第三种情况把关于t的方程化到下图的样子，是没有任何难度的，难就难在这个时候选择何种方式来解这个一元二次方程才是最简单的？

解一元二次方程有4种解法，分别是直接开平方法、配方法、求根公式法、因式分解法。每一个一元二次方程的求解，天然有最适合它的解法。

很多学生对一元二次方程的求解，学得并不透彻，能解对就已经不错了，所以这里要深思，怎么才能把学生解一元二次方程的能力真正培养起来？

展示两种解法如下：

有没有发现，同样一个题，在一些同学那里计算量巨大，在一些同学那里计算量却非常小，看来计算题也不是死的，也需要动脑，选择方法的能力也是相当重要的。

-End-

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