五年级数学高等难度练习题（四）

约数：（高等难度）

　　100以内约数个数最多的自然数有五个，它们分别是几？

　　约数答案：

　　如果恰有一个质因数，那么约数最多的是=64，有7个约数；

　　如果恰有两个不同质因数，那么约数最多的是×＝72和×3＝96，各有12个约数；

　　如果恰有三个不同质因数，那么约数最多的是×3×5＝60，×3×7＝84和2××5=90，各有12个约数。

　　所以100以内约数最多的自然数是60，72，84，90和96。

数字问题：（高等难度）

　　任意写一个由数字1、2、3组成的三十位数，从这个三十位数中任意截取相邻三位，可得一个三位数。请证明，在从各个不同位置上截取的所有三位数中，一定有两个相等。

　　数字答案：

　　由1,2,3组成一个3位数，共有 个不同三位数。从一个30位数中截取3位数，共有 种不同截取方法。那么，从不同位置截取的28个三位数中，必有其中2个是相同的三位数。

整除问题：（高等难度）

　　在443后面添上一个三位数，使得到的六位数能被573整除。

　　整除答案：

　　先用443000除以573，通过所得的余数，可以求出应添的三位数。由

　　443000÷573=773……71

　　推知， 443000 （573-71）=443502一定能被573整除，所以应添502。

　　【小结】本题还有一般性的方法。

整数问题：（高等难度）

　　将2009加一个整数，使和能被17与19整除，加的整除要尽可能小，那么所加的整数是多少？

　　整数答案：

　　17和19互质，所以【17,19】=323。2009÷323=6……71.也就是说我们最小要加上323-71=252，才能使它们的和能被17与19整除。

　　【小结】补余的思想。

行程问题：（高等难度）

　　A城每隔30分钟有直达班车开往B镇，速度为每小时60千米；小王骑车从A城去B镇，速度为每小时20千米。当小王出发30分钟时，正好有一趟班车（这是第一趟）追上并超过了他；当小王到达B镇时，第三趟班车恰好与他同时到达。A、B间路程为多少千米？

　　行程答案：

　　由于班车速度是小王速度的3倍，所以当第一趟班车追上并超过小王的那一刻，由于小王已出发30分钟，所以第一趟班车已出发30÷3=10分钟；再过50分钟，第三趟班车出发，此时小王已走了30 50=80分钟，从此刻开始第三趟班车与小王同向而行，这是一个追及问题。由于班车速度是小王速度的3倍，所以第三趟班车走完全程的时间内小王走了全程的三分之一，所以小王80分钟走了全程的三分之二，AB间路程为：20×80/60÷2/3=40千米。

　　【小结】典型的行程问题中追及问题。

台阶问题：（高等难度）

　　小明爬楼梯掷骰子来确定自己下一步所跨台阶步数，如果点数小于3，那么跨1个台阶，如果不小于3，那么跨出2个台阶，那么小明走完四步时恰好跨出6个台阶的概率为多少？

　　台阶答案：

　　掷骰子点数有1-6这6种情况，其中小于3的有2个，不小于3的有4个。所以，小明每跨出一步，有

的概率跨1个台阶，有

的概率跨 2个台阶，对于 4步跨 6个台阶的每一种情况，必定是有2步跨1个台阶，2步跨2个台阶，这4步的走法共有

种；　对于里面的每一种走法，例如(2,2,1,1) ，发生的可能性有

，所以 4步跨6 台阶发生的总概率为