此题虽是求线段长度的几何题，但不用代数方法根本无法解答出来

例题：（初中奥数题）如图，已知△ABC的三边长分别是AB=19，BC=17，AC=18，过△ABC内的一点P向△ABC三边分别作垂线PD，PE，PF，且BD CE AF=27，求BD BF的值。

分析：此题求BD BF的值，这是两条线段的长度之和，BD和BF并不是特殊三角形的边，所以肯定需要作合适的辅助线。观察图形，可以考虑连接AP、BP、CP，这样一来就出现了6个直角三角形。结合条件，想要分别求出BD和BF的长还是缺乏条件，所以考虑整体求出AB PE即可。

由于BD CE AF=27，不妨设BD=a，CE=b，AF=c，则DC=17-a，EA=18-b，FB=19-c，再根据直角三角形的斜边长相等，可以列出3个方程，求解之后将AB PE表示出来，问题即可得到解决。

解：连接PA，PB，PC，

设BD=a，CE=b，AF=c，

则DC=17-a，EA=18-b，FB=19-c，

在Rt△PBD和Rt△PFB中，

BD^2 PD^2=BF^2 PF^2

即a^2 PD^2=（19-c）^2 PF^2

同理可得：

b^2 PE^2＝(17-a)^2 PD^2

c^2 PF^2＝(18-b)^2 PE^2

将以上三式两边分别相加，化简得

a^2 b^2 c^2=（17-a）^2 （18-b）^2 （19-c）^2，

即17a 18b 19c=487，①

因为a b c=27，②

联立①②解得a=c-1，

所以BD BF=a （19-c）=c-1 19-c=18。

答：BD BF的值是18。